Теорема Боголюбова «острие клина»

Теоре́ма Боголю́бова «острие́ кли́на», обобщение принципа аналитического продолжения, особенно для случая многих комплексных переменных; получена Н. Н. Боголюбовым в 1956 г. при обосновании дисперсионных соотношений в квантовой теории поля (Боголюбов. 1958.^[1] Дополнение А). Современная формулировка: пусть функция ${\displaystyle f(z),z=\left(z_{1},\ldots ,z_{n}\right)=x+iy}$, голоморфна в открытом множестве ${\displaystyle T_{\eta }^{C}=[z:|z|<\eta ,y\in C]}$, где ${\displaystyle C}$ – такой открытый конус в ${\displaystyle R^{n}}$ с вершиной в нуле, что ${\displaystyle C\cap (-C)\neq \varnothing }$, открытое множество ${\displaystyle {\mathcal {O}}\subset R^{n}}$ содержится в шаре ${\displaystyle |x|<\eta }$ и для любой основной функции ${\displaystyle \varphi (x)}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}({\mathcal {O}})}$ существует

${\displaystyle \lim \int f(x+iy)\varphi (x)dx,\quad y\longrightarrow 0,\quad y\in C,}$

не зависящий от способа стремления ${\displaystyle y\rightarrow 0}$, ${\displaystyle y\in C}$; тогда ${\displaystyle f(z)}$ допускает аналитическое продолжение в область ${\displaystyle T_{\eta }^{C}\cup {\tilde {\mathcal {O}}}}$:

${\displaystyle {\tilde {\mathcal {O}}}=U_{\xi \in {\mathcal {O}}}[z:|z-\xi |<\theta \Delta _{\mathcal {O}}(\xi )],}$

где ${\displaystyle {\tilde {\mathcal {O}}}}$ – комплексная окрестность множества ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, причём ${\displaystyle 0<\theta <1}$ – постоянная, зависящая только от конуса ${\displaystyle C}$, а ${\displaystyle \Delta _{\mathcal {O}}(\xi )}$ – расстояние от точки ${\displaystyle \xi }$ до границы множества ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$. Теорема Боголюбова «острие клина» остаётся верной и при ${\displaystyle \eta =\infty }$. В этом случае и при некоторых предположениях о росте функции ${\displaystyle f(z)}$ получается первоначальная формулировка Н. Н. Боголюбова (Боголюбов. 1958; роль конуса играл световой конус в ${\displaystyle R^{4}}$). Существуют различные доказательства и обобщения этой теоремы (Владимиров. 1964^[2]). Особо следует отметить обобщения на гиперфункции (Hyperfunctions and pseudo-differential equations ... 1973^[3]) и голоморфные коциклы (Martineau. 1967^[4]).

Теорема Боголюбова «острие клина» находит широкие применения в аксиоматической квантовой теории поля, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории граничных значений го ломорфных функций (особенно функций многих комплексных переменных). При этом полезным дополнением к теореме является теорема о ${\displaystyle C}$-выпуклой оболочке (Владимиров. 1964); пусть в условиях теоремы Боголюбова «острие клина», ${\displaystyle C=C^{+}\cup C^{-}}$, ${\displaystyle C^{-}=-C^{+}}$, где ${\displaystyle C^{+}}$ – выпуклый острый конус; тогда

${\displaystyle B_{C}({\mathcal {O}})\subset \operatorname {Re} H{\big (}T_{\eta }^{C}\cup {\tilde {\mathcal {O}}}{\big )},}$

где ${\displaystyle H({\mathcal {D}})}$ – оболочка голоморфности области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} {\mathcal {D}}}$ – действительное сечение области ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, ${\displaystyle B_{C}({\mathcal {O}})}$ есть ${\displaystyle C}$-выпуклая оболочка множества ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, т. е. наименьшее открытое множество, содержащее ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ и обладающее тем свойством, что если точки ${\displaystyle x^{\prime }}$ и ${\displaystyle x^{\prime \prime }}$ из ${\displaystyle B_{C}({\mathcal {O}})}$ могут быть соединены ${\displaystyle C}$-подобной кривой, целиком лежащей в ${\displaystyle B_{C}({\mathcal {O}})}$, то и все гомотонные ей кривые лежат в ${\displaystyle B_{C}({\mathcal {O}})}$.