Метод суммирования Бореля

Ме́тод сумми́рования Боре́ля, один из методов суммирования функциональных рядов, предложенный Э. Борелем (Borel. 1899^[1]). Пусть дан числовой ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k},}$ (*)

${\displaystyle S_{n}}$ – его частные суммы и ${\displaystyle S}$ – действительное число. Ряд (*) суммируется методом Бореля (B-методом) к числу ${\displaystyle S}$, если

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }e^{-x}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}S_{k}=S}$.

Существует интегральный метод суммирования Бореля, B'-метод: если

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-u}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a_{k}u^{k}}{k!}}\,du=S,}$

то говорят, что ряд (*) суммируется B-методом к числу ${\displaystyle S}$. Условия, при которых B-метод и B-метод равносильны, см. Харди. 2009, с. 229. B-метод возник в связи с аналитическим продолжением функции, регулярной в точке. Пусть функция

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

регулярна в точке ${\displaystyle O}$ и ${\displaystyle C}$– совокупность всех её особых точек. Через каждую точку ${\displaystyle P\in C}$ проведём отрезок ${\displaystyle OP}$ и прямую ${\displaystyle L_{P}}$, проходящую через точку ${\displaystyle P}$ перпендикулярно к ${\displaystyle OP}$. Совокупность точек, лежащих по одну сторону с ${\displaystyle O}$ от каждой из прямых ${\displaystyle L_{P}}$, обозначим ${\displaystyle \Pi }$. Тогда граница ${\displaystyle \Gamma }$ области ${\displaystyle \Pi }$ называется многоугольником Бореля функции ${\displaystyle f(z)}$, а область ${\displaystyle \Pi }$ – его внутренней областью. Имеет место теорема: ряд

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$

суммируется B-методом в области ${\displaystyle \Pi }$ и не суммируется в области ${\displaystyle \Pi ^{*}}$ – дополнении к ${\displaystyle \Pi }$ (см. Харди. 2009^[2]).