Гамма-функция

Га́мма-фу́нкция (${\displaystyle \Gamma }$-функция), трансцендентная функция ${\displaystyle \Gamma (z)}$, распространяющая значения факториала ${\displaystyle z!}$ на случай любого комплексного ${\displaystyle z\neq 0,-1,-2,\ldots }$ Гамма-функция введена Л. Эйлером в 1729 г. в письме к X. Гольдбаху при помощи бесконечного произведения

${\displaystyle }$
${\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Gamma (z)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n!n^{z}}{z(z+1)\ldots (z+n)}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n^{z}}{z(1+z)\left(1+{\frac {z}{2}}\right)\ldots \left(1+{\frac {z}{n}}\right)}},}$
${\displaystyle }$

из которого Л. Эйлер получил интегральное представление (эйлеров интеграл второго рода)

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}dx}$,

верное для ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0}$. Многозначность функции ${\displaystyle x^{z-1}}$ устраняется формулой ${\displaystyle x^{z-1}=e^{(z-1)\ln x}}$ с действительным ${\displaystyle \ln x}$. Обозначение ${\displaystyle \Gamma (z)}$ и название «гамма-функция» были предложены A.-M. Лежандром в 1814 г.

Если ${\displaystyle \operatorname {Re} z<0}$ и ${\displaystyle -k-1<\operatorname {Re} z<-k}$, ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$, то гамма-функция может быть представлена интегралом Коши – Зальшюца:

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}\left(e^{-x}-\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {x^{m}}{m!}}\right)dx}$.

На всей плоскости ${\displaystyle z}$ с выброшенными точками ${\displaystyle z=0}$, ${\displaystyle -1,-2,\ldots }$ для гамма-функции справедливо интегральное представление Ганкеля:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{e^{2\pi iz}-1}}\int _{C}s^{z-1}e^{-s}ds}$,

где ${\displaystyle s^{z-1}=e^{(z-1)\ln s}}$, причём ${\displaystyle \ln s}$ есть ветвь логарифма, для которой ${\displaystyle 0<\arg \ln s\leqslant 2\pi }$; контур ${\displaystyle C}$ изображён на рис. 1. Из представления Ганкеля видно, что ${\displaystyle \Gamma (z)}$ – мероморфная функция. В точках ${\displaystyle z_{n}=-n}$, ${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$, она имеет простые полюсы с вычетами ${\displaystyle (-1)^{n}/n!}$

Основные соотношения и свойства гамма-функции.

1) Функциональное уравнение Эйлера:

${\displaystyle z\Gamma (z)=\Gamma (z+1)}$,

или

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z(z+1)\cdots (z+n)}}\Gamma (z+n+1)}$;

${\displaystyle \Gamma (1)=1}$, ${\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}$, если ${\displaystyle n>0}$ – целое, при этом считают ${\displaystyle 0!=\Gamma (1)=1}$.

2) Формула дополнения Эйлера:

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\frac {\pi }{\sin \pi z}}}$.

В частности,

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }};\quad \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots (2n-1)}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}}$,

если ${\displaystyle n>0}$ – целое, то

${\displaystyle \left|\Gamma \left({\frac {1}{2}}+iy\right)\right|^{2}={\frac {\pi }{\operatorname {ch} y\pi }},\quad y{\text{ - }}{\text{действительное}}}$

3) Формула умножения Гаусса:

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{{\frac {1}{2}}-mz}\Gamma (mz)}$,

при ${\displaystyle m=2}$ это есть формула удвоения Лежандра.

4) При ${\displaystyle \operatorname {Re} z\geqslant \delta >0}$ или ${\displaystyle \mid \operatorname {Im} z\mid \geqslant \delta >0}$ имеет место асимптотическое разложение ${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$ в ряд Стирлинга:

${\displaystyle }$
${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\ln z-z+{\frac {1}{2}}\ln 2\pi }$
${\displaystyle +\sum _{n=1}^{m}{\frac {B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}}+O\left(z^{-2m-1}\right),}$
${\displaystyle m=1,2,\ldots ,}$
${\displaystyle }$

где ${\displaystyle B_{2n}}$ – числа Бернулли, из чего следует равенство

${\displaystyle }$
${\displaystyle \Gamma (z)={\sqrt {2\pi }}z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}\left[1+{\frac {z^{-1}}{12}}+{\frac {z^{-2}}{288}}-\right.}$
${\displaystyle \left.{\frac {139z^{-3}}{51840}}-{\frac {571z^{-4}}{2488320}}+O\left(z^{-5}\right)\right].}$
${\displaystyle }$

В частности,

${\displaystyle \Gamma (1+x)={\sqrt {2\pi }}x^{x+{\frac {1}{2}}}e^{-x+{\frac {\theta }{12x}}},\quad 0<\theta <1}$.

Более точной является формула Н. Я. Сонина (Сонин. 1954):

${\displaystyle \Gamma (1+x)={\sqrt {2\pi }}x^{x+{\frac {1}{2}}}e^{-x+{\frac {1}{12(x+\theta )}}},\quad 0<\theta <{\frac {1}{2}}}$.

5) В действительной области ${\displaystyle \Gamma (x)>0}$ для ${\displaystyle x>0}$ и принимает знак ${\displaystyle (-1)^{k+1}}$ на участках

${\displaystyle -k-1<x<-k}$, ${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$ (см. рис. 2). Для всех действительных ${\displaystyle x}$ справедливо неравенство

${\displaystyle \Gamma \Gamma ^{\prime \prime }>(\Gamma ^{\prime })^{2}\geqslant 0}$,

т. е. все ветви, как ${\displaystyle \mid \Gamma (x)\mid }$, так и ${\displaystyle \ln \mid \Gamma (x)\mid }$,– выпуклые функции. Свойство логарифмической выпуклости определяет гамма-функцию среди всех решений функционального уравнения

${\displaystyle \Gamma (1+x)=x\Gamma (x)}$

с точностью до постоянного множителя.

Для положительных ${\displaystyle x}$ гамма-функция имеет единственный минимум при ${\displaystyle x=1,4616321\ldots }$, равный ${\displaystyle 0,885603\ldots }$ Локальные минимумы функции ${\displaystyle \mid \Gamma (x)\mid }$ при ${\displaystyle x\rightarrow -\infty }$ образуют последовательность, стремящуюся к нулю.

6) В комплексной области, при ${\displaystyle \operatorname {Re} z>0}$, гамма-функция быстро убывает при ${\displaystyle \mid \operatorname {Im} z\mid \rightarrow \infty }$

${\displaystyle \lim _{\mid \operatorname {Im} z\mid \rightarrow \infty }\mid \Gamma (z)\mid \mid \operatorname {Im} z\mid ^{{\frac {1}{2}}-\operatorname {Re} z}e^{{\frac {\pi }{2}}\mid \operatorname {Im} z\mid }={\sqrt {2\pi }}}$.

7) Функция ${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$ (см. рис. 3) является целой функцией ${\displaystyle 1}$-го порядка максимального типа, причём асимптотически при ${\displaystyle r\rightarrow \infty }$

${\displaystyle \ln M(r)\sim r\ln r}$,

где

${\displaystyle M(r)=\max _{\mid z\mid =r}{\frac {1}{\mid \Gamma (z)\mid }}}$.

Она представима бесконечным произведением Вейерштрасса:

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{Cz}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-{\frac {z}{n}}}\right]}$,

абсолютно и равномерно сходящимся на любом компактном множестве комплексной плоскости (здесь ${\displaystyle C}$ – постоянная Эйлера). Справедливо интегральное представление Ганкеля:

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C^{*}}e^{s}s^{-z}ds}$,

где контур ${\displaystyle C^{*}}$ изображён на рис. 4.

Интегральные представления для степеней гамма-функции были получены Г. Ф. Вороным (Вороной. 1952).

В приложениях большую роль играют так называемые полигамма-функции, являющиеся ${\displaystyle k}$-ми производными от ${\displaystyle \ln \Gamma (z)}$. Функция (${\displaystyle \psi }$-функция Гаусса)

${\displaystyle \psi (z)={\frac {d}{dz}}\ln \Gamma (z)={\frac {\Gamma ^{\prime }(z)}{\Gamma (z)}}}$
${\displaystyle =-C+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(z+n)}}=\ =-C+\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-t)^{z-1}}{t}}dt}$

мероморфна, имеет простые полюсы в точках ${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$ и удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle \psi (z+1)-\psi (z)={\frac {1}{z}}}$.

Из представления ${\displaystyle \psi (z)}$ при ${\displaystyle \mid z\mid <1}$ следует формула

${\displaystyle \ln \Gamma (1+z)=-Cz+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}S_{k}}{k}}z^{k}}$,

где

${\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-k}}$;

эта формула полезна для вычисления ${\displaystyle \Gamma (z)}$ в окрестности точки ${\displaystyle z=1}$.

О других полигамма-функциях см. (Бейтмен, Эрдейи. 1965^[1]). Неполная гамма-функция определяется равенством

${\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{y}e^{-t}t^{x-1}dt}$.

Функции ${\displaystyle \Gamma (z)}$, ${\displaystyle \psi (z)}$ суть трансцендентные функции, не удовлетворяющие никакому линейному дифференциальному уравнению с рациональными коэффициентами (теорема Гёльдера).

Исключительная роль гамма-функции в математическом анализе определяется тем, что при помощи гамма-функции выражается большое количество определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов (см., например, бета-функция). Кроме того, гамма-функция находит широкие применения в теории специальных функций (гипергеометрической функции, для которой гамма-функция является предельным случаем, цилиндрических функций и других), в аналитической теории чисел и т. д.