Звезда элемента функции

Звезда́ элеме́нта фу́нкции (звезда Миттаг-Леффлера), звездообразная область, в которую данный элемент

${\displaystyle f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}(z-a)^{k}}$

аналитической функции может быть аналитически продолжен по лучам, выходящим из его центра ${\displaystyle a}$. Звезда элемента функции состоит из тех точек комплексной плоскости ${\displaystyle z}$, которых можно достичь, аналитически продолжая элемент ${\displaystyle f(z)}$ в виде степенного ряда вдоль всевозможных лучей, исходящих из центра элемента ${\displaystyle a}$. Если при продолжении элемента вдоль данного луча ${\displaystyle z=a+re^{i\varphi }}$, ${\displaystyle 0\leqslant r<+\infty }$, нельзя достичь произвольной точки этого луча, то на луче найдётся точка ${\displaystyle z_{1}\neq a}$ такая, что продолжение возможно до любой точки интервала ${\displaystyle [a,z_{1})}$, но далее неосуществимо. Если продолжение возможно в любую точку луча, то полагают ${\displaystyle z_{1}=\infty }$. Совокупность точек, принадлежащих всем интервалам ${\displaystyle [a,z_{1})}$, представляет собой (односвязную) звездообразную область относительно точки ${\displaystyle a}$ – это и есть звезда элемента функции ${\displaystyle S_{f}}$. В результате аналитического продолжения в ${\displaystyle S_{f}}$ получают регулярную аналитическую функцию ${\displaystyle f(z)}$, являющуюся однозначной ветвью в ${\displaystyle S_{f}}$ полной аналитической функции, порождаемой данным элементом.

Все точки границы ${\displaystyle \partial S_{f}}$ звезды элемента функции являются достижимыми граничными точками. В вопросах аналитического продолжения (см. также Мультипликационная теорема Адамара) различают также угловые, доступные и хорошо доступные точки границы ${\displaystyle \partial S_{f}}$. Точка ${\displaystyle z_{1}\in \partial S_{f}}$ называется угловой точкой границы звезды элемента функции, если она имеет наименьший модуль ${\displaystyle |z_{1}|}$ среди всех точек ${\displaystyle \partial S_{f}}$ с тем же аргументом ${\displaystyle \arg z_{1}}$. Точка ${\displaystyle z_{1}\in \partial S_{f}}$ называется доступной точкой границы звезды элемента функции, если существует полукруг ${\displaystyle V(z_{1})}$ такой, что${\displaystyle f(z)}$ регулярна всюду внутри ${\displaystyle V(z_{1})}$ и в точках его диаметра, отличных от ${\displaystyle z_{1}}$. Точка ${\displaystyle z_{1}\in \partial S_{f}}$ называется хорошо доступной (или хорошо достижимой) точкой границы звезды элемента функции, если существует угол ${\displaystyle V(z_{1})}$ с вершиной ${\displaystyle z_{1}}$, раствора больше ${\displaystyle \pi }$ и такой, что ${\displaystyle f(z)}$ регулярна в области ${\displaystyle V(z_{1})\cap \{z:|z-z_{1}|<\delta \}}$ при достаточно малом ${\displaystyle \delta >0}$.

М. Г. Миттаг-Леффлер (Mittag-Leffler. 1900^[1],... seconde note. 1901^[2], ... troisième note. 1901^[3]; 1902^[4]; 1905^[5]) показал, что регулярную функцию ${\displaystyle f(z)}$ в её звезде ${\displaystyle S_{f}}$ можно представить в виде равномерно сходящегося внутри ${\displaystyle S_{f}}$ ряда многочленов

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{\nu =0}^{k_{n}}c_{\nu }^{(n)}{\frac {f^{(\nu )}(a)}{\nu !}}(z-a)^{\nu }}$ (*).

Формула (*) называется разложением Миттаг-Леффлера в звезде. Здесь степени многочленов ${\displaystyle k_{n}}$ и коэффициенты ${\displaystyle c_{0}^{(n)},c_{1}^{(n)},\ldots ,c_{k_{n}}^{(n)}}$, ${\displaystyle n=0,1,\ldots }$, не зависят от вида ${\displaystyle f(z)}$ и могут быть вычислены раз и навсегда. Такое вычисление было проделано П. Пенлеве (см. Вогеl. 1928^[6]; Маркушевич. 1968^[7]).