Метод суммирования Миттаг-Леффлера

Ме́тод сумми́рования Ми́ттаг-Ле́ффлера, полунепрерывный метод суммирования числовых и функциональных рядов, определённый последовательностью функций

${\displaystyle g_{k}(\delta )={\frac {1}{\Gamma (1+\delta k)}},\quad \delta >0\quad k=0,1,2,\ldots ,}$

где ${\displaystyle \Gamma (x)}$ – гамма-функция. Ряд

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }u_{k}}$

суммируем методом Миттаг-Леффлера к сумме ${\displaystyle s}$, если

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {u_{k}}{\Gamma (1+\delta _{k})}}=s}$

и ряд под знаком предела сходится. Метод был первоначально введён М. Г. Миттаг-Леффлером (Mittag-Leffler. 1909) для ряда

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }z^{k}}$.

Метод суммирования Миттаг-Леффлера является регулярным и применяется как аппарат для аналитического продолжения функций. Если ${\displaystyle f(z)}$ – главная ветвь аналитической функции, регулярной в нуле и представимой рядом

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$

для малых ${\displaystyle z}$, то этот ряд суммируем методом Миттаг-Леффлера к ${\displaystyle f(z)}$ во всей звезде функции ${\displaystyle f(z)}$, причём равномерно в любой замкнутой ограниченной области, содержащейся внутри звезды.

Из методов суммирования, определённых преобразованием последовательности в последовательность полунепрерывными матрицами ${\displaystyle a_{k}(\omega )}$ типа

${\displaystyle a_{k}(\omega )={\frac {c_{k+1}\omega ^{k+1}}{E(\omega )}},}$

где

${\displaystyle \mathrm {E} (\omega )=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}\omega ^{k}}$

– целая функция, М. Г. Миттаг-Леффлером рассматривался случай, когда

${\displaystyle E(\omega )=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}}$.

Матрицу ${\displaystyle a_{k}(\omega )}$ с такой целой функцией называют матрицей Миттаг-Леффлера.