Уравне́ние Лиуви́лля, уравнение для функции распределения плотности вероятности $ρ(q, p)$ нахождения динамической системы c $n$ степенями свободы в $2n$-мерном фазовом пространстве всех обобщённых координат $q$ и обобщённых импульсов $p.$ Вероятность системы находиться в элементе объёма $(dqdp)$ фазового пространства равна

$$ρ(q, p)dqdp = ρ(q, p)dq_1…dq_ndp_1...\ d p_n.$$Уравнение Лиувилля имеет вид:

$$\partial \mathrm p/ \partial t=\sum_i^ \ [( \partial H/ \partial q_i)( \partial \mathrm p/ \partial p_i)-( \partial H/ \partial p_i)( \partial \mathrm p/ \partial q_i)],$$где $t$ – время, $H$ – функция Гамильтона. Правая часть данного уравнения представляет собой известное преобразование двух функций многомерного пространства (в данном случае функций $H$ и $ρ$), именуемое скобками Пуассона – $\{ {H, r} \} .$ Поэтому уравнение Лиувилля записывают также в виде $\partial p/ \partial t= \{ H,p \} .$ Уравнение Лиувилля может быть записано в векторной форме: $\partial p/ \partial t=\mathbf u\ \mathrm {grad} p,$ где $\mathbf u$ – вектор скорости изменения обобщённых координат и импульсов.

Согласно уравнениям Гамильтона, $\partial H/ \partial q_i=-dp_i/d t, \partial H/ \partial p_i=dq_i/dt,$ поэтому уравнение Лиувилля может быть представлено в виде:

$$\partial \mathrm p/ \partial t=- \sum_i^ \ [( \partial p_i/ \partial t)( \partial \mathrm p/ \partial p_i)+( \partial q_i/ \partial t)( \partial \mathrm p/ \partial q_i)].$$Последняя запись есть развёрнутая (в частных производных) форма записи теоремы Лиувилля: $dp/dt=0.$

Для квантовых систем вместо классической функции распределения используется квантовый оператор $\hat{p}_k$ – матрица плотности, удовлетворяющая квантовому уравнению Лиувилля: $i \hbar \partial \hat{p} _k/ \partial t=[ \hat{H},\hat{p}_k ],$ где $\hat{H}$ – оператор Гамильтона, $i$ – мнимая единица, $ℏ$ – постоянная Планка, квадратные скобки обозначают коммутатор операторов $\hat{H}$ и $\hat{p}_k.$

Уравнение Лиувилля играет ключевую роль в аппарате статистической физики, т. к. функция распределения $ρ(q, p)$ – интеграл движения. Вероятность состояния двух независимых подсистем равна произведению вероятностей, и, следовательно, логарифм функции $ρ(q, p)$ – аддитивный интеграл движения. Это позволяет установить фундаментальную связь $\mathrm {ln}\ ρ(q, p)$ с известными в механике аддитивными интегралами движения – энергией и др.