Уравне́ние Дира́ка, дифференциальное уравнение для волновой функции $ψ(\boldsymbol x, t)$ свободной (невзаимодействующей) релятивистской частицы со спином ¹/₂ (электрон, мюон, кварки и др.), описывающее изменение её состояния со временем $t$ ($\boldsymbol x$ – пространственные координаты). Получено П. Дираком в 1928 г. на основе следующих требований. Уравнение должно быть инвариантным относительно преобразований Лоренца (т. е. иметь одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчёта); линейным, чтобы выполнялся принцип суперпозиции; должно быть 1-го порядка по времени, чтобы состояние в данный момент определяло состояния во все последующие моменты времени. Этим требованиям удовлетворяет только система из четырёх уравнений для функции $ψ(\boldsymbol x)$, которая имеет 4 компоненты, и уравнение Дирака записывается в виде $\sum_{μ}γ_μ\partial ψ(\boldsymbol x)/\partial x_μ+(imc/\hbar)ψ(\boldsymbol x)=0$, где $μ=0, 1, 2, 3; x_1=x, x_2=y, x_3=z$ – пространственные координаты, $x_0=ct$ – временнáя координата, $c$ – скорость света, $\hbar$ – постоянная Планка, $m$ – масса частицы; $γ_μ$ – т. н. матрицы Дирака.

Для свободной частицы уравнение Дирака приводит к релятивистскому соотношению между импульсом $p$, энергией $\mathscr E$ и массой частицы: $\mathscr E^2=m^2c^4+p^2c^2$. Для покоящейся частицы это соответствует $\mathscr E=\pm mc^2$ (энергия покоя частицы). Интервал энергий $–mc^2\lt \mathscr E \lt mc^2$ является запрещённым. В квантовой теории поля состояние частицы с отрицательной энергией интерпретируется как состояние античастицы, обладающей положительной энергией, но противоположным электрическим и другими сохраняющимися зарядами (лептонным, барионным, гиперзарядом). Таким образом, четыре независимых решения уравнения Дирака описывают не только состояние частицы со спином ¹/₂, но и состояние её античастицы, каждое с двумя возможными проекциями спина на направление импульса (+¹/₂ и –¹/₂). Экспериментальное обнаружение в 1932 г. позитрона (антиэлектрона), предсказанного Дираком, подтвердило справедливость уравнения Дирака.

Для взаимодействующих частиц в уравнении Дирака появляется дополнительное слагаемое, учитывающее это взаимодействие. В квантовой электродинамике, объединённой теории слабого и электромагнитного взаимодействий, а также в квантовой хромодинамике вид этого слагаемого определяется требованием локальной (т. е. зависящей от координат и времени) калибровочной симметрии. В электродинамике, например, оно получается заменой производной $\partialψ(\boldsymbol x)/\partial x_μ$ в уравнении Дирака на $(\partial/\partial x_μ+ieA_μ/\hbar c)ψ(\boldsymbol x)$, где $e$ – заряд частицы, $A_μ$ – четырёхмерный потенциал электромагнитного поля; слагаемое $ieA_μ/\hbar c$ описывает взаимодействие заряженной частицы с электромагнитным полем. Аналогичные члены, описывающие взаимодействие частицы с векторными калибровочными полями, возникают и в других квантовых теориях.

Заряженная частица, описываемая в уравнении Дирака, обладает магнитным моментом $e\hbar /2mc$ (для электрона равным магнетону Бора). Однако взаимодействие с вакуумом приводит в квантовой теории поля к появлению дополнительного, т. н. аномального, магнитного момента. В нерелятивистском пределе уравнение Дирака для электрона переходит в уравнение Паули, объясняющее, в частности, тонкую структуру уровней энергии атома.