Уравне́ния Ло́ренца – Ма́ксвелла, основные уравнения микроскопической классической электродинамики, лежащие в основе электронной теории. Электронная теория была разработана Х. А. Лоренцем в конце 19 – начале 20 вв. Она оперирует с электромагнитными полями, создаваемыми отдельными заряженными микрочастицами, движущимися или покоящимися в вакууме. Лоренц перенёс феноменологические уравнения Максвелла, определяющие наблюдаемое макроскопическое (усреднённое) электромагнитное поле, на микроскопическое электромагнитное поле, непосредственно не регистрируемое, поскольку оно очень быстро изменяется в пространстве и во времени. Уравнения Лоренца – Максвелла имеют вид:

$\displaystyle \text{rot}\boldsymbol e = \frac {−\partial\boldsymbol b}{\partial t} \; ,  \\ \displaystyle \text{rot}\boldsymbol b = \mu _0( \sum_{i} \rho_i \boldsymbol {v}_i+ \varepsilon_0 \frac{ \partial \boldsymbol{e} }{ \partial t} ) \; , \\ \displaystyle \text{div} \boldsymbol e =\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_{i}\rho_i \; ,\\ \text{div} \boldsymbol b = 0 \; ,$где $\boldsymbol e$ и $\boldsymbol b$ – напряжённость электрического и индукция магнитного микроскопических полей, $ρ_i$ – объёмная плотность электрических зарядов, $\boldsymbol v _{\boldsymbol i}$ – их скорость, $μ_0 ≃ 4π⋅10^{–7}$ Гн/м – магнитная постоянная, $ε_0 = 1/μ_0c^2$ – электрическая постоянная, $c$ – скорость распространения электромагнитных волн (скорость света) в вакууме. Для физической модели точечного заряда величиной $q_i$, движущегося по закону $\boldsymbol r_i(t)$ со скоростью $\boldsymbol υ_i = \boldsymbol{\dot{r}}_i,$ плотность заряда $ρ_i(\boldsymbol r, t) = q_i \delta (\boldsymbol r − \boldsymbol r ' (t)),$ где $δ(\boldsymbol r) = δ(x)δ(y)δ(z)$ – дельта-функция Дирака, $\boldsymbol r_i$ – радиус-вектор заряда, $t$ – время.

Лоренц предложил учесть в уравнениях Максвелла дискретность электричества, концепция которой сложилась к концу 19 в. вследствие успешного применения гипотезы об атомном строении вещества для объяснения таких хорошо изученных явлений, как, например, электролиз, и которая была подтверждена открытием электрона. В электронной теории предполагается, что всякое вещество состоит из положительно и отрицательно заряженных частиц (ядер, электронов, ионов) и вызванного ими электромагнитного поля в вакууме, а электрические токи обусловлены только движением этих зарядов.

С помощью уравнений Лоренца – Максвелла было установлено, что электромагнитное поле в каждой точке занимаемого им пространства обладает объёмными плотностями энергии и электромагнитного импульса, были выведены закон сохранения энергии электромагнитного поля, взаимодействующего с заряженными частицами, закон сохранения импульса электромагнитного поля и закон сохранения электрического заряда.

Для описания движения зарядов к уравнению Лоренца – Максвелла добавляются классические уравнения движения (второй закон Ньютона) каждого из зарядов под действием силы Лоренца, действующей на заряды со стороны электромагнитного поля. Объёмная плотность этой силы определяется выражением: $\boldsymbol f_i = ρ_i(\boldsymbol e + [\boldsymbol υ_i \; \boldsymbol b]).$

В рамках электронной теории предполагается, что микроскопические поля $\boldsymbol e$ и $\boldsymbol b$ существуют и внутри заряженных частиц, что позволяет рассматривать взаимодействие заряженной частицы с собственным электромагнитным полем. Если в качестве модели заряженной частицы выбрать шар радиусом $a$, по объёму которого равномерно распределён заряд $q,$ то для силы самовоздействия получается разложение:

$\displaystyle \boldsymbol{F}=-\frac{4}{5}\frac{q_0^2}{ac^2} \boldsymbol{\ddot r}_C+\frac{2q^2_0}{3c^2} \boldsymbol{\ddot r \dot{} }_C + ... \;,$где $\displaystyle q_0^2 = \frac{q^2}{4πε_0} =\frac{μ_0c^2q^2}{4π} = 10^{–7}c^2q^2 \;,$ $\boldsymbol r_С$ – радиус-вектор центра масс частицы. Высшие члены разложения пропорциональны радиусу частицы и исчезают при $a → 0.$ Второй член разложения (не зависящий от $a$) является силой радиационного трения, обусловленной потерей энергии движущейся частицы вследствие электромагнитного излучения. Первый член, пропорциональный ускорению частицы $\boldsymbol{\ddot r}_C$, который может быть истолкован как дополнительная масса частицы, обусловленная её зарядом (электромагнитная поправка к массе частицы), стремится к бесконечности при $a → 0,$ что указывает на внутреннюю противоречивость электронной теории (из опытов по электрон-электронному рассеянию известно, что закон Кулона продолжает выполняться при минимальном расстоянии между сталкивающимися электронами 10⁻¹⁸ м, т. е. возможные размеры электрона должны быть значительно меньше этой величины).

Взаимосвязь уравнений Лоренца – Максвелла и Максвелла. Усреднение микроскопических полей

Микроскопические поля $\boldsymbol e$ и $\boldsymbol b$ очень быстро изменяются в пространстве и во времени, что объясняется быстрым движением большого количества микроскопически заряженных частиц (электронов и ядер), создающих эти поля. Такие быстропеременные поля не могут быть измерены современными макроскопическими приборами. Поэтому для макроскопического описания электромагнитных явлений необходимы законы, содержащие физические величины, которые достаточно медленно изменяются в пространстве и во времени и, следовательно, могут быть измерены с помощью приборов. Кроме того, из-за огромного количества индивидуальных частиц в реальных веществах получение информации об их движении и об отдельном поле каждой частицы становится не только практически невозможным, но и бесполезным для использования. В то же время очень большое число рассматриваемых частиц делает статистически устойчивыми средние значения характеристик движения частиц и их полей (вследствие того, что относительные отклонения от среднего убывают с увеличением числа частиц пропорционально $1/ \sqrt[]{N} ,$ где $N$ – число рассматриваемых частиц).

Таким образом, для получения доступных для измерения макроскопических величин следует провести усреднение микроскопических величин, входящих в уравнения Лоренца – Максвелла. Для этого необходимо определить искомые макроскопические величины как статистические средние по частицам, находящимся в элементарном объёме, достаточно малом с макроскопической точки зрения (чтобы не ограничивать разрешающую способность применяемых измерительных приборов), но содержащем достаточно большое число частиц, для того чтобы можно было применять законы статистической механики. Это означает, что пространственные размеры объёма усреднения должны быть велики по сравнению с межатомными расстояниями, но малы по сравнению с размерами исследуемой части физической системы (или длиной рассматриваемых электромагнитных волн в среде).

Аналогично временной интервал, по которому производится усреднение, должен быть большим по сравнению с характерными временами микроскопических движений (например, с периодами электронных осцилляций в атомах или с периодами колебаний электромагнитных волн), но малым по сравнению с временны́м разрешением используемых приборов или промежутками времени, за которые заметно изменяются измеряемые характеристики электромагнитного поля.

Пространственно-временное среднее произвольной функции $u(\boldsymbol r, t)$ определяется выражением:

$\langle u(\mathcal{\boldsymbol r},t) \rangle =\int A(\boldsymbol r-\boldsymbol r', t-t')\cdot u(\boldsymbol r',t')\cdot d\mathcal{\boldsymbol r'} dt' \;, \qquad (1)$

где $d\mathcal{r'} =dx' dy' dz';$ $A(\boldsymbol r, t)$ – весовая функция, заметно отличная от нуля лишь в малой пространственно-временной области, определяемой условиями усреднения; например, можно выбрать весовую функцию отличной от нуля только внутри шара с малым радиусом $R$ в течение промежутка времени $τ$, т. е.:

$A( \boldsymbol r- \boldsymbol r',t-t')=\displaystyle \frac{3}{4 \pi R^3 \tau }\;\; \text{при}\;\; |\boldsymbol r- \boldsymbol r'| \leq R \;\; \text и \;\; |t-t'|\leq \tau$и $A = 0$ в остальных случаях. В этом случае из (1) следует:

$\displaystyle \langle \frac{\partial u}{\partial t} \rangle=\frac{\partial}{\partial t} \langle u \rangle \; , \;\; \langle \frac{\partial u}{\partial x} \rangle=\frac{\partial}{\partial x} \langle u \rangle \; , \;\; \langle \frac{\partial u}{\partial y} \rangle=\frac{\partial}{\partial y} \langle u \rangle \; , \;\; \langle \frac{\partial u}{\partial z} \rangle=\frac{\partial}{\partial z} \langle u \rangle \;,$поэтому процедуру усреднения можно менять местами с дифференцированием по времени и с дифференциальными операторами $\text{rot}$ и $\text{div}$, являющимися линейными комбинациями пространственных производных по пространственным координатам. При этом результаты не зависят от выбора весовой функции $A(\boldsymbol r, t)$. Такие же результаты получаются и при другом способе статистического усреднения, когда среднее от микроскопической величины рассматривается как среднее по малой области фазового пространства координат и импульсов (или скоростей) частиц.

Применение процедуры усреднения к микроскопическим полям $\boldsymbol e(\boldsymbol r, t)$ и $\boldsymbol b(\boldsymbol r, t)$ даёт:

$\boldsymbol e(\boldsymbol r, t) = \boldsymbol E(\boldsymbol r, t) \;, \;\; \boldsymbol b(\boldsymbol r, t) = \boldsymbol B(\boldsymbol r, t)\;,$где $\boldsymbol E(\boldsymbol r, t)$ и $\boldsymbol B (\boldsymbol r, t)$ – напряжённость электрического и индукция магнитного макроскопических (наблюдаемых) полей.

Уравнения Лоренца – Максвелла в среде

В электронной теории все заряды разделяются на свободные (свободно перемещающиеся по объёму вещества, например электроны) и связанные, входящие в состав нейтральных атомов или молекул, образующих материальную среду, с которой взаимодействует макроскопическое электромагнитное поле. Можно показать, что

$\langle \sum \limits_{i} \rho _i \rangle = \rho + \rho _{связ} = \rho − \text{div} \boldsymbol P \;,$где $\rho$ – средняя плотность свободных зарядов, $ρ_{связ}$ – средняя плотность связанных зарядов, $\boldsymbol P = ⟨ \sum \limits_i \boldsymbol p_i⟩$ – вектор поляризации, равный средней объёмной плотности суммарного электрического дипольного момента, $\boldsymbol p_i$ – дипольные моменты отдельных атомов и молекул. Кроме дипольных моментов атомы и молекулы могут обладать также магнитными моментами $\boldsymbol m_i$. Определив вектор намагниченности $\boldsymbol M = ⟨ \sum\limits_i \boldsymbol m_i⟩,$ находим:

$\displaystyle \langle \sum\limits_{i} \rho _i \boldsymbol v_i \rangle =\boldsymbol j + \frac {\partial \boldsymbol P}{\partial t}+ \text{rot} \boldsymbol M\;,$где $\boldsymbol j= \rho \langle \boldsymbol v \rangle$ – плотность тока проводимости. Можно ввести вектор электрической индукции $\boldsymbol D$ и вектор напряжённости магнитного поля $\boldsymbol H,$ учитывающие макроскопические характеристики материальной среды $(\boldsymbol P$ и $\boldsymbol M)\text:$

$\boldsymbol D= \varepsilon_0\boldsymbol E+\boldsymbol P= \varepsilon _0 \varepsilon \boldsymbol E \;, \;\; \displaystyle \boldsymbol H= \frac{\boldsymbol B}{ \mu_0}-\boldsymbol M= \frac{\boldsymbol B}{ \mu_0 \mu }$В результате усреднения уравнений Лоренца – Максвелла получаются уравнения Максвелла в обычной форме, а также даётся микроскопическое истолкование диэлектрической проницаемости $ε$ и магнитной проницаемости $μ,$ используемых в этих уравнениях. Электронная теория позволила дать микроскопическую интерпретацию электрической проводимости проводников и объяснить явление дисперсии (зависимости $ε$ и $μ$ от частоты электромагнитной волны, распространяющейся в материальной среде).

Уравнения Лоренца – Максвелла – основа для квантового обобщения электромагнитных явлений

Предположения, лежащие в основе классической электронной теории Х. А. Лоренца, перестают выполняться на малых пространственных и временны́х интервалах. В этом случае для корректного описания электромагнитных явлений и закономерностей взаимодействия электромагнитного поля с веществом необходимо использовать законы квантовой электродинамики (КЭД). Полевые векторы $\boldsymbol e$ и $\boldsymbol b$ заменяются операторами, действующими на волновые функции (амплитуды вероятности), а заряженные частицы описываются соответствующими квантовыми полями. Несмотря на внутренние трудности (возникновение бесконечностей, как и в классической электронной теории, хотя в КЭД расходимости имеют более слабый логарифмический характер, а не степенной, как в электронной теории), КЭД позволяет рассчитывать многочисленные характеристики взаимодействия поля и вещества, добиваясь блестящего совпадения теории и эксперимента.