Ве́кторное произведе́ние, операция над двумя векторами $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$, определённая в трёхмерном пространстве, результатом которой является вектор, ортогональный векторам $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$, длина которого равна произведению длин этих векторов на синус угла между ними, и образующий с ними правую тройку векторов (рис. 1).

Рис. 1. Правая тройка векторов.Рис. 1. Правая тройка векторов.Упорядоченная тройка некомпланарных векторов в трёхмерном евклидовом пространстве называется правой (положительно ориентированной), если из конца третьего вектора кратчайший поворот от 1-го вектора ко 2-му проходит против часовой стрелки. В противном случае тройка векторов называется левой (отрицательно ориентированной). Существует аналитический способ определения положительно и отрицательно ориентированной тройки векторов: если определитель матрицы, 1-й строкой которой являются координаты вектора $\overrightarrow a$, 2-й – координаты вектора $\overrightarrow b$ и 3-й – координаты вектора $\overrightarrow c$, положителен, то тройка векторов является правой, если отрицателен, то левой.

Обозначениями векторного произведения являются: $\overrightarrow a \times \overrightarrow b$, $\left[\overrightarrow a, \overrightarrow b\right]$.

Свойства векторного произведения:

1. $\overrightarrow a \times \overrightarrow a=0$;

2. $\overrightarrow a \times \overrightarrow b=0$, если один из сомножителей есть нулевой вектор ($\overrightarrow a=0$ или $\overrightarrow b=0$) или если векторы коллинеарны ($\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b$);

3. $\overrightarrow a \times \overrightarrow b=-\overrightarrow b \times \overrightarrow a$ (свойство антикоммутативности);

4. $\left(k\overrightarrow a\right) \times \overrightarrow b=k\left(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\right)$ (сочетательный закон);

5. $\overrightarrow a \times \left(\overrightarrow b+\overrightarrow c\right)=\overrightarrow a \times \overrightarrow b+\overrightarrow a \times \overrightarrow c$ (распределительный закон);

6. $\left(\overrightarrow a \times \overrightarrow b\right) \times \overrightarrow c + \left(\overrightarrow b \times \overrightarrow c\right) \times \overrightarrow a + \left(\overrightarrow c \times \overrightarrow a\right) \times \overrightarrow b = 0$ (тождество Якоби);

7. $\overrightarrow a \times \left(\overrightarrow b \times \overrightarrow c\right) = \overrightarrow b \left(\overrightarrow a, \overrightarrow c\right) - \overrightarrow c \left(\overrightarrow a, \overrightarrow b\right)$;

8. $\left|\overrightarrow a \times \overrightarrow b\right|^2 + \left(\overrightarrow a, \overrightarrow b\right)^2 = \left|\overrightarrow a\right|^2 + \left|\overrightarrow b\right|^2$.

В случае если заданы координаты векторов $\overrightarrow a = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\overrightarrow b = \{x_2, y_2, z_2\}$ в правом ортонормированном базисе, то координаты их векторного произведения находятся по формуле

$$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \begin{vmatrix} \overrightarrow i& \overrightarrow j& \overrightarrow k \\ x_1& y_1& z_1 \\ x_2& y_2& z_2 \end{vmatrix} = \overrightarrow i \begin{vmatrix} y_1& z_1 \\ y_2& z_2 \end{vmatrix} - \overrightarrow j \begin{vmatrix} x_1& z_1 \\ x_2& z_2 \end{vmatrix} + \overrightarrow k \begin{vmatrix} x_1& y_1 \\ x_2& y_2 \end{vmatrix}$$В левом ортонормированном базисе векторное произведение векторов $\overrightarrow a = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\overrightarrow b = \{x_2, y_2, z_2\}$ определяется по формуле
$$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \begin{vmatrix} \overrightarrow i& \overrightarrow j& \overrightarrow k \\ x_1& y_1& z_1 \\ x_2& y_2& z_2 \end{vmatrix}.$$В произвольной аффинной системе координат $\mathcal{O} \overrightarrow e_1 \overrightarrow e_2 \overrightarrow e_3$ векторное произведение имеет координаты

$$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = - \begin{vmatrix} \overrightarrow e_2 \times\overrightarrow e_3 & \overrightarrow e_3 \times\overrightarrow e_1& \overrightarrow e_1 \times\overrightarrow e_2 \\ x_1& y_1& z_1 \\ x_2& y_2& z_2 \end{vmatrix}.$$Векторное произведение векторов $\overrightarrow a = \{x_1, y_1, z_1\}$ и $\overrightarrow b = \{x_2, y_2, z_2\}$ в правом ортонормированном базисе также может быть представлено в виде произведения кососимметрической матрицы и вектора:
$$\overrightarrow a \times \overrightarrow b = \begin{pmatrix} 0& -x_1& y_1 \\ x_1& 0& -z_1 \\ -y_1& z_1& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}.$$Геометрический смысл векторного произведения (рис. 2): модуль векторного произведения $\overrightarrow a \times \overrightarrow b$ равен площади параллелограмма, построенного на векторах $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$:

Рис. 2. Геометрический смысл векторного произведения.Рис. 2. Геометрический смысл векторного произведения.$$S_{пар} = \left| \overrightarrow a \times \overrightarrow b \right|.$$Площадь треугольника, построенного на векторах $\overrightarrow a$ и $\overrightarrow b$, равна половине модуля векторного произведения $\overrightarrow a \times \overrightarrow b$:

$$S_{тр} = \displaystyle \frac12 \left| \overrightarrow a \times \overrightarrow b \right|.$$Физический смысл векторного произведения (рис. 3).

Рис. 3. Физический смысл векторного произведения.Рис. 3. Физический смысл векторного произведения.1) Момент силы $\overrightarrow F$, приложенной к точке $B$, относительно точки $A$ равен векторному произведению вектора $\overrightarrow {AB}$ и силы $\overrightarrow F$:

$$\overrightarrow m = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow F.$$2) На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца, которая определяется по формуле

$$\overrightarrow F_Л = q \cdot \overrightarrow v \times \overrightarrow B,$$где $q$ – заряд частицы, $\overrightarrow B$ – вектор индукции магнитного поля, $\overrightarrow v$ – величина скорости заряженной частицы.