Цилиндри́ческие фу́нкции, класс специальных функций, являющихся решениями дифференциального уравнения$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}+(x^2-v^2)y=0,\tag{1}$$где $v$ – произвольный параметр. К этому уравнению сводятся многие вопросы равновесия (упругого, теплового, электрического) и колебаний тел цилиндрической формы. Решение, имеющее вид$$J_v(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k+v}}{k!Γ(k+v+1)},$$где $Γ$ – гамма-функция; ряд справа сходится при всех значениях $x, v ⩾ 0$, называется цилиндрической функцией 1-го рода порядка (индекса) $v$. В частности, цилиндрическая функция нулевого порядка имеет вид$$J_0(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(x/2)^{2k}}{(k!)^2}.$$Если $v$ – целое отрицательное, $v=–n$, то $J_v(x)$ определяется как$$J_{–n}(x)=(–1)^nJ_n(x).$$Цилиндрическая функция порядка $v=m+1/2$, где $m$ – целое число, сводится к элементарным функциям, например$$J_{1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\sin x,\\J_{-1/2}(x)=\sqrt{\frac{2}{πx}}\cos x.$$Функции $J_v(x)$ и уравнение (1) называют также по имени Ф. В. Бесселя (функции Бесселя, уравнение Бесселя ). Однако эти функции и уравнение (1) были получены ещё Л. Эйлером при изучении колебаний мембраны в 1738 г., функция нулевого порядка встречается ещё раньше в работе Д. Бернулли, посвящённой колебанию тяжёлой цепи (1732), а функция порядка ⅓ – в письме Я. Бернулли к Г. В. Лейбницу (1703).

Если $v$ не является целым числом, то общее решение уравнения (1) имеет вид$$y=C_1J_v(x)+C_2J_{–v}(x),\tag{2}$$где $C_1, C_2$ – постоянные. Если же $v$ – целое, то $J_v(x)$ и $J_{–v}(x)$ линейно зависимы и их линейная комбинация (2) уже не является общим решением уравнения (1). Поэтому, наряду с цилиндрическими функциями 1-го рода, вводят ещё цилиндрические функции 2-го рода (называемые также функциями Вебера):$$Y_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{J_μ(x)\cos μπ - J_{-μ}(x)}{\sin μπ}.$$При помощи этих функций общее решение уравнения (1) может быть записано в виде$$y=C_1J_v(x)+C_2Y_v(x)$$как при целом, так и при нецелом $v$.

В приложениях встречаются цилиндрические функции мнимого аргумента$$I_v(x)=i^{–v}J_v(ix)$$и$$K_v(x)=\lim_{μ\rightarrow v}\frac{π}{2}\frac{I_{-μ}(x)-I_{μ}(x)}{\sin μπ}$$(функция Макдональда). Эти функции удовлетворяют уравнению$$x^2\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-(x^2+v^2)y=0,$$общее решение которого имеет вид$$y=C_1I_v(x)+C_2K_v(x)$$как при целом, так и при нецелом $v$. Часто употребляются ещё цилиндрические функции 3-го рода (или функции Ганкеля)$$H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iY_v(x),\\H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iY_v(x),$$а также функции Томсона $ber(x), bei(x)$, определяемые соотношением$$ber(x)+ibei(x)=I_0(x\sqrt{i}).$$Цилиндрические функции изучены очень детально и для комплексных значений аргументов.