Фу́нкция Макдо́нальда, модифицированная цилиндрическая функция, бесселева функция мнимого аргумента, – функция

$$K_{\nu}(z)=\frac{\pi}{2} \frac{I_{-\nu}(z)-I_{\nu}(z)}{\sin (\nu\pi)},$$где $\nu$ – произвольное нецелое действительное число,

$$I_{\nu}(z)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\left(\frac{z}{2}\right)^{\nu+2 m}}{m! \Gamma(\nu+m+1)}$$– цилиндрическая функция чисто мнимого аргумента. Рассмотрена Х. Макдональдом (1899). Если $n$ – целое число, то $$K_{n}(z)=\lim_{\nu\rightarrow n} K_{\nu}(z).$$Функция Макдональда $K_{\nu}(z)$ является решением дифференциального уравнения $$z^{2} \frac{d^{2} y}{d z^{2}}+z \frac{d y}{d z}-(z^{2}+\nu^{2}) y=0,\tag{*}$$стремящимся экспоненциально к нулю, когда $z \rightarrow \infty$, принимая положительные значения. Функции $I_{\nu}(z)$ и $K_{\nu}(z)$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (*).

При $\nu\geqslant 0$ функция $K_{\nu}(z)$ имеет корни лишь в случае $\operatorname{Re}(z)<0$. Если $\pi/2<|\arg z|<\pi$, то число всех корней в этих двух квадрантах равно ближайшему к $\nu-\frac{1}{2}$ чётному числу, если только $\nu-\frac{1}{2}$ не является целым; в последнем случае число всех корней равно $\nu-\frac{1}{2}$. При $\arg z=\pm \pi$ корней нет, если только $\nu-\frac{1}{2}$ не целое. Ряды и асимптотические представления:

$$K_{n+1/2}(z)=\left(\frac{\pi}{2 z}\right)^{1/2} e^{-z}\sum_{r=0}^{n} \frac{(n+r)!}{r!(n-r)!(2z)^{r}},$$

$n$ – целое неотрицательное;

$$\begin{gathered} K_{0}(z)=-\ln \left(\frac{z}{2}\right) I_{0}(z)+\sum_{m=0}^{\infty}\left(\frac{z}{2}\right)^{2m} \frac{1}{(m!)^2}\psi(m+1),\\ \psi(1)=-C,\quad \psi(m+1)=1+\frac{1}{2}+\ldots+\frac{1}{m}-C, \end{gathered}$$$C=0,5772157\ldots$ – постоянная Эйлера;

$$\begin{gathered} K_{n}(z) =\frac{1}{2} \sum_{m=0}^{n-1} \frac{(-1)^{m}(n-m-1) !}{m !(z / 2)^{n-2 m}}+(-1)^{n-1} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(z / 2)^{n+2 m}}{m !(n+m) !}\times\\ \times\left\{\ln (z / 2)-\frac{1}{2} \psi(m+1) -\frac{1}{2} \psi(n+m+1)\right\}, \end{gathered}$$

$n \geqslant 1$ – целое; $$K_{\nu}(z) \sim\left(\frac{\pi}{2 z}\right)^{1 / 2} e^{-z} \left[1+\frac{4\nu^{2}-1^{2}}{1!8z} +\frac{(4\nu^{2}-1^{2})(4\nu^{2}-3^{2})} {2!(8z)^{2}}+\ldots\right],$$

$z$ велико и $|\arg z|<\pi/2$.

Рекуррентные формулы:

$$K_{\nu-1}(z)-K_{\nu+1}(z)=-\frac{2\nu}{z} K_{\nu}(z),\quad K_{\nu-1}(z)+K_{\nu+1}(z)=-2\frac{dK_{\nu}(z)}{dz}.$$