О́бщее реше́ние системы обыкновенных дифференциальных уравнений $n$-го порядка

$x'=f(t,x), \quad x=(x_1,\ldots,x_n) \in \mathbf R^n, \qquad\qquad\qquad(1)$в области $G$ – гладкое по $t$ и непрерывное по совокупности параметров $n$-параметрическое семейство вектор-функций $x=φ(t,C_1,\ldots,C_n)$,

$(C_1,\ldots,C_n)∈C⊂\mathbf R^n, \qquad\qquad\qquad(2)$откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график которого проходит в области $G\subset D$; здесь $D\subset R^{n+1}$ – область, где выполнены условия существования и единственности решения для системы $(1)$. (Иногда предполагается, что параметры могут принимать и значения $\pm\infty$.) Геометрически общее решение системы $(1)$ в области $G$ представляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающее эту область.

Общее решение системы $(1)$в области $G$ позволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием $x(t_0)=x^0$, $(t_0,x_0) \in G$: нужно из системы $n$ равенств $x_0=φ (t_0,C_1,\ldots,C_n)$ определить значения $n$ параметров $C_1,\ldots,C_n$ и подставить эти значения в $(2)$. Если $x=ψ(t,t_0,x_0)$ – решение системы $(1)$, удовлетворяющее условию $x(t_0)=x^0$, $(t_0,x^0)∈D$, то $n$-параметрическое семейство

$x=ψ(t,t_0,x^0_1, \ldots, x^0_1),$где $t_0$ – фиксированное число, а $x_1^0,\ldots,x_n^0$ рассматриваются как параметры, является общим решением системы $(1)$ в некоторой области $G \subset D$ и называется общим решением в форме Коши. Знание общего решения позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из $n$ соотношений $(2)$ и из $n$ соотношений, получающихся дифференцированием соотношений $(2)$ по $t$, исключить $n$ параметров $C_1,\ldots,C_n$.

В случае обыкновенного дифференциального уравнения $n$-го порядка

$y^{(n)}= f(x,y,y',\ldots,y^{(n-1)}) \qquad\qquad\qquad(3)$Общее решение в области $G$ имеет вид $n$-параметрического семейства функций

$y=φ(x,C_1,\ldots,C_n),\quad (C_1,\ldots,C_n)\in C\subset \mathbf R_n,\qquad\qquad\qquad(4)$из которого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями

$y(x_0)=y_0, y′(x_0)=y_0′ ,\ldots,y^{(n–1)},\quad (x_0, y_0, y'_0,\ldots,y_0^{(n–1)})\in G\subset D;$здесь $D\subset R^{n+1}$ – область, где выполнены условия существования и единственности решения для уравнения $(3)$.

Функция, получающаяся из общего решения при конкретных значениях параметров, называется частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в некоторой области, не всегда удаётся выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции – и тогда оно называется общим интегралом – или в параметрическом виде.

Если конкретное дифференциальное уравнение $(3)$ допускает интегрирование в замкнутой форме, т. е. его решение можно представить в виде явной аналитической формулы, то часто удаётся получить соотношение типа $(4)$, где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. Поэтому часто говорят, что общее решение уравнения $n$-го порядка содержит $n$ произвольных постоянных. Однако такое соотношение далеко не всегда есть общее решение во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.