Псе́вдоевкли́дово простра́нство, действительное аффинное пространство, в котором каждым двум векторам $a$ и $b$ поставлено в соответствие определённое число, называемое скалярным произведением $(a, b)$.

1) Скалярное произведение коммутативно:

$$(a, b) = (b, a);$$2) скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения векторов:

$$(a(b + с)) = (a, b) + (a, c);$$3) числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения:

$$(ka, b)=k (a, b);$$4) существуют такие $n$ векторов $a_i$, что

$$(a_c, a_c) > 0, \; c \leqslant l; \quad(a_d, a_d) < 0, \; d > l; \\ (a_ί, a_j) = 0, \; i \neq j.$$Число $n$ называется размерностью псевдоевклидова пространства, $l$ – индексом, пара чисел $(l, p)$, $p = n – l$, – сигнатурой. Псевдоевклидово пространство обозначается $E_{(l, p)}$ (или $^lE_n$). Пространство $E_{(1, 3)}$ называется пространством Минковского. В пространстве $E_{(l, p)}$ во всякой системе $n$ векторов $b_i$, для которых $(b_i, b_i) \neq 0$ и $(b_i, b_j) = 0$ при $i \neq j$, число векторов $b_i$, для которых $(b_i, b_i)>0$, равно $l$, а число векторов $b_i$, для которых $(b_i, b_i)<0$, равно $n – l$ (закон инерции квадратичной формы).

Модуль $|a|$ вектора $a$ псевдоевклидова пространства может быть определён как неотрицательный корень $\sqrt{|(a, a)|}$. Векторы, скалярные квадраты которых равны $1$ и $–1$, называются соответственно единичными и мнимоединичными векторами. Векторы $x$, для которых $(x, x) = 0$, обладают нулевым модулем и называются изотропными векторами; направления изотропных векторов – изотропными направлениями.

В псевдоевклидовом пространстве имеются три вида прямых: евклидовы, направляющий вектор которых имеет положительный скалярный квадрат $((a, a) > 0)$, псевдоевклидовы $((a, a) < 0)$ и изотропные $((a, a) = 0)$. Совокупность всех изотропных прямых, проходящих через некоторую точку, называется изотропным конусом.

В псевдоевклидовом пространстве имеется несколько видов плоскостей: евклидовы плоскости $E^2$, псевдоевклидовы плоскости $E_{(1; 1)}$ и плоскости, содержащие изотропные векторы, – т. н. полуевклидовы плоскости сигнатуры $(0, 1)$ и $(1, 0)$ и дефекта $1$ (см. в статье Полуевклидово пространство) и изотропные плоскости, все векторы которых изотропны.

За расстояние между точками $A(x)$ и $B(x)$ принимается модуль вектора $\overline{AB}$, и оно может быть вычислено следующим образом:

$$\overline{AB^2} = |y–x|^2 = |(y–x), (y–x)|.$$Псевдоевклидово пространство не является метрическим пространством, т. к. в нём не выполняется неравенство треугольника. Если векторы $a$ и $b$ принадлежат евклидовой плоскости (или псевдоевклидовой плоскости индекса $0$), то для них выполняется неравенство треугольника, а если они принадлежат псевдоевклидовой плоскости индекса $1$, то для них выполняется т. н. обратное неравенство треугольника:

$$|a + b| \geqslant |a| + |b|.$$В псевдоевклидовом пространстве имеются три вида сфер: сферы с положительным квадратом радиуса: $(x, x) = \rho ^2$, сферы с отрицательным квадратом радиуса: $(x, x) = – \sigma^2$ и сферы нулевого радиуса: $(x, x) = 0$, совпадающие с изотропным конусом.

Движения псевдоевклидова пространства являются аффинными преобразованиями и могут быть записаны в виде

$$x^\prime=U x+a .$$Оператор $U$ удовлетворяет условию $|U x|=|x|$, т. е. сохраняет расстояние между точками. Движения псевдоевклидова пространства образуют группу по умножению; она зависит от $n(n+1) / 2$ независимых параметров. Движения псевдоевклидова пространства называются движениями 1-го или 2-го рода, если они являются аффинными преобразованиями соответствующего рода.

Антидвижением псевдоевклидова пространства называют геометрическое преобразование, при котором всякий вектор $a$ переходит в вектор $a^{\prime}$ такой, что $(a, a)=–(a^{\prime}, a^{\prime})$.

В псевдоевклидовом пространстве можно ввести основные операции векторной и тензорной алгебры. Основные дифференциально-геометрические понятия строятся в соответствии с правилами геометрии псевдоримановых пространств. Метрический тензор псевдоевклидова пространства имеет вид (в галилеевой системе координат)

$$g _ {ij}  = \left \| \begin{array}{cc} \left . \begin{array}{ccccc}  1  & {}    & {}    & {}   & {} \\ {}  & \cdot & {}    & {}   & {} \\ {}  & {}    & \cdot & {}   & {} \\ {}  & {}    & {}    & \cdot& {} \\ {}  & {}    & {}    & {}   & 1  \\ \end{array} \right \}  l & 0 \\ 0 & \left . \begin{array}{ccccc} –1  & {}    & {}    & {}   & {} \\ {}  & \cdot & {}    & {}   & {} \\ {}  & {}    & \cdot & {}   & {} \\ {}  & {}    & {}    & \cdot& {} \\ {}  & {}    & {}    & {}   & –1 \\ \end{array} \right\} p \end{array} \right \| .$$Псевдоевклидово пространство является плоским, т. е. его тензор Римана равен нулю. Если тензор Римана псевдориманова пространства равен нулю тождественно, то оно является локально псевдоевклидовым пространством.

Подмногообразия псевдоевклидова пространства могут нести различные метрики: положительно или отрицательно определённую риманову метрику, псевдориманову метрику и вырожденную метрику. Так, например, сферы псевдоевклидова пространства несут (вообще говоря, индефинитную) метрику постоянной кривизны. В $E_{(1, n–1)}$ сфера с положительным квадратом радиуса является $(n – 1)$-мерным пространством, изометричным пространству Лобачевского.

Псевдоевклидово пространство $E_{(l, p)} (l+p = n)$ и евклидово пространство $E^n$ можно рассматривать как подпространства комплексного пространства с формой $ds^2 = \sum_{i=1}^n dz_i^2$. Если $x^j$ – координаты псевдоевклидова пространства, $y^j$ – действительного евклидова пространства, $z^j$ – комплексного евклидова пространства, то уравнения подпространств имеют вид

$$x^j = \mathrm{Re} \, z^j, \; 0 < j \leqslant l; \; x^j = \mathrm{Im} \, z^j, \; l < j \leqslant n, \; y^j = \mathrm{Re} \, z^j.$$Метрику псевдоевклидова пространства можно формально получить из метрики евклидова пространства заменой $x^j = i y^j$, $l < j \leqslant n$.