Спино́рная структу́ра (расслоение спин-реперов) в $n$-мерном многообразии $M$, главное расслоение $\pi: \tilde{P} \rightarrow M$ над $M$ со структурной группой $\operatorname{Spin}(n)$ (см. статью Спинорная группа), накрывающее некоторое главное расслоение $\pi: P \rightarrow M$ кореперов со структурной группой $\operatorname{SO}(n)$. Последнее условие означает, что задан тождественный по базе сюръективный гомоморфизм $\varkappa$ главных расслоений $\tilde{P} \rightarrow P$, согласованный с естественным гомоморфизмом $\rho: \operatorname{Spin}(n) \rightarrow \mathrm{SO}(n)$. Говорят, что спинорная структура $(\tilde{\pi}, x)$ подчинена римановой метрике $g$ на $M$, определяемой расслоением $\pi$. С точки зрения теории $G$-структур спинорная структура есть обобщённая $G$-структура со структурной группой $G=\operatorname{Spin}(n)$, pacсматриваемой вместе с неточным представлением $\rho:\operatorname{Spin}(n) \rightarrow \mathrm{SO}(n)$.

Аналогичным образом определяются спинорная структура, подчинённая псевдоримановой метрике, и спинорная структура на комплексном многообразии, подчинённая комплексной метрике. Необходимые и достаточные условия существования спинорной структуры на $M$ состоят в ориентируемости многообразия $M$ и обращении в нуль класса Штифеля – Уитни $W_2(M)$. При выполнении этих условий число неизоморфных спинорных структур на $M$, подчинённых данной римановой метрике, совпадает с порядком группы $H^1\left(M, \mathbb{Z}_2\right)$ (Milnоr. 1963).

Пусть $C$ – комплексификация алгебры Клиффорда пространства $\mathbb{R}^n$ относительно квадратичной формы $q=-\sum_{i=1}^n x_i^2$. Алгебра $C$ обладает неприводимым представлением в пространстве $S$ над $\mathbb{C}$ размерности $2^{[n / 2]}$, которое определяет представление группы $\operatorname{Spin}(n) \subset C$ в пространстве $S$. Всякая спинорная структура $\tilde{\pi}$ на $M$ задаёт ассоциированное векторное расслоение $\pi_S: S(M) \rightarrow M$ со слоем $S$, называемое расслоением спиноров. Риманова связность на $M$ определяет каноническим образом связность в расслоении $\pi_S$. В пространстве $\Gamma(S)$ гладких сечений расслоения $\pi_S$ (спинорных полей) действует линейный дифференциальный оператор $D$ порядка $1$ – оператор Дирака, который локально определяется формулой$$D u=\sum_{i=1}^n s_i \cdot \nabla_{s_i} u,$$где $\nabla_{s_i}$ – ковариантные производные по направлениям ортонормированных векторных полей $s_i$, а умножение элементов из $S$ на векторы из $\mathbb{R}^n$ соответствует определённой выше структуре $C$-модуля на $S$.

Спинорные поля, аннулируемые оператором $D$, иногда называются гармоническими. Если $M$ компактно, то $\operatorname{dim} \operatorname{ker} D<\infty$, причём эта размерность не меняется при конформной деформации метрики (Нitсhin. 1974). Если при этом риманова метрика на $M$ имеет положительную скалярную кривизну, то $\operatorname{ker} D=0$ (Нitсhin. 1974; Lichnerowicz. 1964).

Спинорной структурой в пространстве-времени $(M, g)$ (т. е. в четырёхмерном лоренцевом многообразии) называется спинорная структура, подчинённая лоренцевой метрике $g$. Существование спинорной структуры в некомпактном пространстве-времени $M$ эквивалентно абсолютной параллелизуемости многообразия $M$ (Geroch. 1968). Пространство спиноров $S$ как модуль над спинорной группой $\operatorname{Spin}(1,3) \approx \mathrm{SL}(2, G)$ разлагается в прямую сумму двух комплексных двумерных комплексносопряжённых $\mathrm{SL}(2, G)$-модулей $\mathbb{C}^2$ и $\dot{\mathbb{C}^2}$. Этому разложению соответствует разложение $S(M)=\mathbb{C}^2(M) \oplus \dot{\mathbb{C}}^2(M)$ расслоения спиноров, причём тензорное произведение $\mathbb{C}^2(M) \otimes \dot{C}^2(M)$ отождествляется с комплексификацией касательного расслоения $T M$. Спинорные поля в пространстве-времени, являющиеся собственными функциями оператора Дирака, описывают свободные поля частиц со спином 1/2, например электронов.