Класс Шти́феля – Уи́тни, характеристический класс со значениями в $H^*(\;; \mathbb{Z}_2),$ определённый для действительных векторных расслоений. Классы Штифеля – Уитни обозначаются через $w_i$, $i>0$, и для действительного векторного расслоения $\xi$ над топологическим пространством $B$ класс $w_i(\xi)$ лежит в $H^i\left(B ; \mathbb{Z}_2\right)$; введены Э. Штифелем (Stiefel. 1935) и X. Уитни (Whitneу. 1937); они обладают следующими свойствами. 1) Для двух действительных векторных расслоений $\xi$, $\eta$ над общей базой$$w_k(\xi \oplus \eta)=\sum_i w_i(\xi) w_{k-i}(\eta),\quad w_0=1,$$другими словами, $w(\xi \oplus \eta)=w(\xi) w(\eta)$, где $w=1+w_1+w_2$ – полный класс Штифеля – Уитни. 2) Для одномерного универсального расслоения $\zeta_1$ над $\mid\mathbb{R} P^{\infty}$ имеет место равенство $w\left(\zeta_1\right)=1+y$, где $y$ – ненулевой элемент группы $H^1\left(\mathbb{R} P^{\infty} ; \mathbb{Z}_2\right)=\mathbb{Z}_2$. Этими двумя свойствами классы Штифеля – Уитни определяются однозначно. Классы Штифеля – Уитни стабильны, т. е. $w(\xi \oplus \theta)=w(\xi)$, где $\theta$ – тривиальное расслоение и $w_i(\xi)=0$ при $i>\operatorname{dim} \xi$. Для ориентированного векторного расслоения $\xi$ размерности $n$ над базой $B$ класс $w_n(\xi) \in H^n\left(B ; \mathbb{Z}_2\right)$ совпадает с приведением по модулю 2 эйлерова класса.

Для векторного расслоения $\xi$ над $B$ пусть $B^{\xi}$ – пространство Тома этого расслоения. Далее, пусть $\Phi: H^*\left(B ; \mathbb{Z}_2\right) \longrightarrow \tilde{H}^{*+n}\left(B^{\xi} ; \mathbb{Z}_2\right)$ – изоморфизм Тома. Тогда полный класс Штифеля – Уитни $w(\xi)$ совпадает с$$\Phi^{-1} S q \Phi(1) \in H^*\left(B ; \mathbb{Z}_2\right),$$где $S q=1+S q^1+S q^2+\ldots$ – полный квадрат Стинрода. Это свойство класса Штифеля – Уитни можно использовать в качестве их определения. Классы Штифеля – Уитни гомотопически инвариантны в том смысле, что они совпадают для послойно-гомотопически эквивалентных расслоений над общей базой.

Любой характеристический класс со значениями в $H^*\left(; \mathbb{Z}_2\right)$, определённый для действительных векторных расслоений, выражается через класс Штифеля – Уитни: кольца $H^{* *}\left(B O_n ; \mathbb{Z}_2\right)$ и $H^{* *}\left(B O ; \mathbb{Z}_2\right)$ являются кольцами формальных степенных рядов от класса Штифеля – Уитни:$$\begin{gathered} H^{* *}\left(B O_n ; \mathbb{Z}_2\right)=\mathbb{Z}_2\left[\left[w_1, \ldots, w_n\right]\right], \\ H^{* *}\left(B O ; \mathbb{Z}_2\right)=\mathbb{Z}_2\left[\left[w_1, \ldots,\right]\right]. \end{gathered}$$