Ковариа́нтная произво́дная, обобщение понятия производной для полей различных геометрических объектов на многообразиях – векторов, тензоров, форм и т. д. Это – линейный оператор $\nabla_X$, действующий на модуле тензорных полей $T_s^r$ данной валентности и определяемый по векторному полю $X$ на многообразии $M$ следующими свойствами:

1) $\nabla_{f X+g Y}U=f \nabla_X U+g \nabla_Y U$,

2) $\nabla_X(f U)=f \nabla_X U+(X f) U$,

где $U \in T_s^r(\mathrm{M}), f, g$ – дифференцируемые функции на $M$. По линейности это отображение распространяется на алгебру тензорных полей, причём для тензорного произведения $\otimes$ тензоров $U$ и $V$:

$$\nabla_X(U \otimes V)=\nabla_X U \otimes V+U \otimes \nabla_X V.$$Таким образом, отображение $\nabla_X$ является дифференцированием алгебры тензорных полей; оно обладает дополнительными свойствами перестановочности с операциями свёртки, альтернирования и симметрирования тензоров.

Свойства $1)$ и $2)$ отображения $\nabla_X$ позволяют ввести на $M$ линейную связность (и соответствующее параллельное перенесение) и на её основе дать локальное определение ковариантной производной, которая, будучи распространённой на всё многообразие, совпадает с определённым здесь оператором $\nabla_X$ (см. также Ковариантное дифференцирование).