Потенциа́л (от лат. potentia – сила) в математике, понятие, характеризующее широкий класс физических силовых полей (гравитационное, электрическое и др.) и вообще поля физических величин, представляемых векторами (поле скоростей в жидкости и др.). В электростатическом поле потенциал вводится как вспомогательная функция, пространственные производные которой – компоненты напряжённости электрического поля в данной точке, в гидродинамике – компоненты скорости жидкости в данной точке и т. п. При этом потенциал в ряде случаев имеет и важный физический смысл. Так, в электростатическом поле он численно равен (с обратным знаком) работе, необходимой для удаления единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность.

В общем случае потенциал векторного поля $a(x, y, z)$ – скалярная функция $u(x, y, z)$ такая, что $a=\text{grad}\, u$, т. е. $a_x=\frac{\partial u}{\partial x}$, $a_y=\frac{\partial u}{\partial y}$, $a_z=\frac{\partial u}{\partial z}$, где $a_x$, $a_y$, $a_z$ – компоненты поля $a$ в прямоугольной системе координат $Oxyz$. Если такая функция существует, то векторное поле $a$ называется потенциальным. Иногда потенциалом называют функцию $U=–u$ (например, в электростатике). Потенциал векторного поля $a$ определяется не однозначно, а с точностью до постоянного слагаемого. Поэтому при изучении потенциального поля представляют интерес лишь разности потенциалов в различных точках поля. Уравнение $u(x, y, z)=c$ геометрически представляет поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одну и ту же величину; такие поверхности называются поверхностями уровня или эквипотенциальными поверхностями.

Для поля тяготения, образованного помещённой в точку $A(ξ, η, ζ)$ точечной массой $m$, потенциал (ньютонов потенциал) имеет в точке $P(x,y,z)$ вид

$$u(x,y,z)=Gm/r,$$где

$$r=\sqrt {(x-ξ)^2+(y-η)^2+(z-ζ)^2},$$$G$ – гравитационная постоянная. При наложении полей их потенциалы алгебраически складываются. Если поле тяготения порождается некоторой массой, имеющей плотность $ρ(ξ, η, ζ)$ и занимающей объём $V$, то его потенциал можно рассматривать как наложение элементарных полей, образованных бесконечно малыми телами массы $ρdξ\,dη\,dζ$. Ньютонов потенциал такого поля представляется интегралом

$$u(x,y,z)=G\iiint_V\frac{\rho}{v} ρdξdηdζ.\tag{*}$$Потенциал $u(x, y, z)$ – непрерывная функция во всём пространстве вместе со своими частными производными 1-го порядка; вне тела объёма $V$ функция $u(x, y, z)$ удовлетворяет уравнению Лапласа, внутри – уравнению Пуассона.

Если притягивающие массы распределены с плотностью $ρ_S$ по поверхности $S$ (простой слой), то потенциал образованного ими поля выражается интегралом

$$v(x,y,z)=G\int_S\frac{\rho_S}{r}ds.$$Потенциал простого слоя $v(x, y, z)$ – функция, непрерывная во всём пространстве; при пересечении поверхности $S$ нормальная производная функции $v(x, y, z)$ имеет разрыв, равный $4πG/ρ_S$. Неограниченно сближая две поверхности, на которых расположены простые слои с плотностями $ρ_S$ и $-ρ_S$, и одновременно увеличивая $ρ_S$ до бесконечности, но так, чтобы был конечен предел $\lim nρ_S=μ$, где $n$ – нормальное расстояние между поверхностями, приходят к понятию потенциала двойного слоя:

$$w(x,y,z)=G\int_S \mu\frac{\partial}{\partial n}\frac{1}{r}\,ds.$$Потенциал двойного слоя $w(x, y, z)$ – непрерывная функция во всём пространстве вне $S$; при пересечении поверхности $S$ функция $w(x, y, z)$ имеет разрыв, равный $4πGμ$.

Функции $v(x, y, z)$ и $w(x, y, z)$ удовлетворяют уравнению Лапласа. В виде суммы потенциалов простого и двойного слоёв может быть представлена любая гармоническая функция.

Если тело $V$ – бесконечный цилиндр с поперечным сечением $D$ и плотность $ρ$ вещества цилиндра постоянна вдоль каждой прямой, параллельной образующим цилиндра, то формула (*) приводит к понятию логарифмического потенциала:

$$u(x,y)=G\int_D \rho \ln(1/\rho)ds.$$В ряде математических задач используется понятие векторного потенциала, см. Векторное исчисление.

Идея потенциала принадлежит Ж. Лагранжу (1775) и П. Лапласу (1782). Теория потенциала создана независимо Дж. Грином (1828) и К. Гауссом (1840).