Электроста́тика, раздел электромагнетизма, изучающий электростатические поля, т. е. электрические поля, которые создаются электрическими зарядами, покоящимися в некоторой инерциальной системе отсчёта. В другой инерциальной системе отсчёта эти заряды будут двигаться, образуя электрические токи, создающие вокруг себя магнитное поле (относительность электрического и магнитного полей). Экспериментальное становление электростатики началось с работ Г. Кавендиша (1772, эти работы не были изданы при жизни) и Ш.-О. Кулона (1785), которые установили (независимо друг от друга) закон взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов (закон Кулона).

Основные характеристики электростатического поля

Силовой характеристикой любого (в том числе нестационарного) электрического поля является напряжённость электрического поля $\boldsymbol E,$ а в материальной среде – вектор электрической индукции $\boldsymbol D = ε_0ε\boldsymbol E,$ где $ε$ – диэлектрическая проницаемость среды, $ε_0$ – электрическая постоянная. Электростатическое поле, напряжённость и индукция которого не зависят от времени, является консервативным (потенциальным) полем и имеет дополнительную энергетическую характеристику – электрический потенциал $φ$. Напряжённость электростатического поля связана с градиентом его потенциала соотношением

$\boldsymbol E =–\text{grad}φ= –\boldsymbol∇φ\;, \qquad (1)$здесь $\displaystyle \mathbf{\nabla}=\mathcal{\boldsymbol e}_x\frac{\partial}{\partial x}+\mathcal{\boldsymbol e}_y\frac{\partial}{\partial y}+\mathcal{\boldsymbol e}_z\frac{\partial}{\partial z}$ – векторный оператор Гамильтона, где $\boldsymbol e_x,\ \mathcal{\boldsymbol e}_y,\mathcal {\boldsymbol e}_z$ – единичные векторы, направленные вдоль координатных осей. Для точечного заряда $q$ с радиусом-вектором $\boldsymbol r',$ находящегося в однородной среде с $ε = \text{const}$ (например, в вакууме, где $ε = 1$), напряжённость и потенциал электростатического поля определяются с помощью закона Кулона:
$\displaystyle \boldsymbol E(q, \boldsymbol r – \boldsymbol r') = \frac{1}{4 \varepsilon _0 \varepsilon } \frac{q}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r' |^2} \frac{\boldsymbol r-\boldsymbol r' }{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}\;, \\ \displaystyle φ(q, \boldsymbol r – \boldsymbol r') =\frac{1}{4\varepsilon_0\varepsilon}\frac{q}{\left|\boldsymbol r-\boldsymbol r'\right|}\;.$

Принцип суперпозиции полей

Согласно принципу суперпозиции, выполняющемуся в не очень сильных полях, когда материальную среду можно считать линейной (или когда в вакууме ещё не происходит его поляризация и вакуум тоже можно считать линейной средой), электростатическое поле, создаваемое совокупностью зарядов $q_i$, будет равно сумме полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

$\boldsymbol E(\boldsymbol r) =\sum\limits_{i}\boldsymbol E\left(q_i,\boldsymbol r-\boldsymbol r_i^\prime\right)\;,\\ φ(\boldsymbol r) =\sum\limits_{i}\varphi\left(q_i,\boldsymbol r-\boldsymbol r_i^\prime\right)\;.$Для непрерывного распределения зарядов в однородной среде потенциал создаваемого ими электростатического поля определяется, согласно принципу суперпозиции, выражением:

 $\displaystyle \varphi(\boldsymbol r)=\frac{1}{4\varepsilon_0\varepsilon}\int\limits_V\frac{\rho(\boldsymbol r')\cdot d V'}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}+\frac{1}{4\varepsilon_0\varepsilon}\int\limits_S\frac{\sigma(\boldsymbol r')dS'}{|\boldsymbol r-\boldsymbol r'|}\;,$

где $ρ$ – объёмная плотность зарядов, заполняющих объём $V$, а $σ$ – поверхностная плотность зарядов, распределённых на поверхности $S$; после вычисления потенциала $φ$ напряжённость электростатического поля находится с помощью выражения (1). В случае неоднородной заряженной среды с диэлектрической проницаемостью $ε(x, y, z)$ потенциал электростатического поля удовлетворяет дифференциальному уравнению, получаемому из не зависящих от времени уравнений Максвелла:

$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\left(\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial y}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\varepsilon\frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)=\frac{-\rho\left(x,y,z\right)}{\varepsilon_0}\;.$Для однородной среды ($ε = \text{const}$) это уравнение превращается в уравнение Пуассона:

$\displaystyle \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=\frac{-\rho\left(x,y,z\right)}{\varepsilon_0\varepsilon}\;,$а для однородной и незаряженной среды (заряды находятся на границе области) – в уравнение Лапласа:

$\displaystyle \frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial z^2}=0\;.$Решения уравнений Пуассона и Лапласа будут определяться не только заданием источников электростатического поля (т. е. распределением зарядов в пространстве), но и граничными условиями.

Методы расчёта электростатических полей

Если заряды расположены вблизи металлических или диэлектрических тел, то на этих телах индуцируются дополнительные неизвестные заряды, распределённые по поверхности и объёму этих тел. Метод электрических изображений позволяет упростить нахождение электростатического поля путём замены этих тел одним или несколькими вполне определёнными фиктивными точечными зарядами. Например, если неподвижный точечный заряд $q$ находится вблизи плоской границы полупространства, заполненного проводящим металлом, то электростатическое поле (его напряжённость и потенциал) внутри металлического проводника будет равно нулю (поле, отличное от нуля, привело бы свободные заряды в проводнике в движение, нарушив условие электростатичности), а поле вне проводника будет суперпозицией полей реального заряда $q$ и заряда $-q,$ расположенного в месте зеркального отображения заряда $q$ в проводнике, так как эти два заряда создают на поверхности металла электростатическое поле с потенциалом $φ = 0,$ что соответствует граничному условию для уравнения Пуассона для поля вне металла, и тем самым решение уравнения Пуассона в этой области действительно будет представляться суперпозицией полей, создаваемых точечными зарядами $q$ и $-q.$

Если расположение зарядов обладает сферической или цилиндрической симметрией, их электростатические поля удобно рассчитывать с помощью теоремы Гаусса в интегральной форме (3-е уравнение Максвелла). Из соображений симметрии для вычисления потока вектора напряжённости электростатического поля можно выбрать такую поверхность, на которой напряжённость будет постоянна по величине. Это позволяет провести все математические выкладки в теореме Гаусса до конца и определить искомую напряжённость электростатического поля.