Одноро́дное компле́ксное многообра́зие, комплексное многообразие $M$, группа автоморфизмов которого транзитивно действует на $M$. Все односвязные одномерные комплексные многообразия – сфера Римана, комплексная плоскость и верхняя комплексная полуплоскость – однородны. Многообразие $G / H$ смежных классов комплексной группы Ли $G$ по замкнутой комплексной подгруппе $H$ является однородным комплексным многообразием.

Среди компактных однородных комплексных многообразий выделяются комплексные флаговые многообразия, к числу которых относятся все компактные эрмитовы симметрические пространства (Хелгасон. 1964). Комплексные флаговые многообразия могут быть охарактеризованы как односвязные компактные однородные кэлеровы многообразия (Lichnerowicz. 1953), а также как многообразия $G / U$, где $G$ – полупростая комплексная группа Ли, $U$ – её параболическая подгруппа. Всякое компактное однородное комплексное многообразие допускает однородное коломорфное расслоение над флаговым многообразием, со слоем, изоморфным многообразию смежных классов комплексной группы Ли по дискретной подгруппе (Tits. 1962; Wang. 1954).

Другой важный класс однородных комплексных многообразий составляют однородные ограниченные области, к числу которых относятся, в частности, симметрические области, двойственные компактным эрмитовым симметрическим пространствам.

Флаговые многообразия и однородные ограниченные области представляют собой частные случаи однородных кэлеровых многообразий (т. е. кэлеровых многообразий, на которых транзитивно действует группа аналитических автоморфизмов, сохраняющих кэлерову метрику). Существует гипотеза (Винберг. 1967), что всякое однородное кэлерово многообразие допускает однородное голоморфное расслоение, базой которого служит однородная ограниченная область, а слоем – прямое произведение флагового многообразия и многообразия смежных классов комплексного векторного пространства по дискретной подгруппе. Эта гипотеза доказана для однородных кэлеровых многообразий, допускающих полупростую (Borel. 1954) или вполне разрешимую (Винберг. 1967) транзитивную группу автоморфизмов, а также для компактных однородных кэлеровых многообразий, которые, таким образом, изоморфны прямым произведениям флаговых многообразий и комплексных торов (Borel. 1962).

В теории однородных комплексных многообразий важную роль играет каноническая эрмитова форма $h_\mu$. По любой гладкой мере ${\mu}$ на комплексном многообразии ${M}$, задаваемой внешней дифференциальной формой

$$i^n K d z_1 \wedge \ldots \wedge d z_n \wedge d \bar{z}_1 \wedge \ldots \wedge d \bar{z}_n,$$может быть построена эрмитова дифференциальная форма

$$h_\mu=d^{\prime} d^{\prime \prime} \ln K=\sum_{i, j} \frac{\partial^2 \ln K}{\partial z_i \partial \bar{z}_j}\, d z_i\, d \bar{z}_j$$(вообще говоря, вырожденная), не зависящая от выбора системы координат и не меняющаяся при умножении меры $\mu$ на константу. Если мера $\mu$ определена стандартным образом по какой-либо кэлеровой метрике на $M$, то форма $\left(-h_\mu\right)$ совпадает с формой Риччи этой метрики (Фукс. 1963). Если потребовать, чтобы мера $\mu$ была инвариантна относительно какой-либо транзитивной группы автоморфизмов многообразия $M$, то она будет определена этой группой однозначно, с точностью до умножения на константу, а форма $h_\mu$ – вполне однозначно. В случае когда $M$ – однородная ограниченная область, определённая таким образом эрмитова форма $h_\mu$ положительно определена и совпадает с метрикой Бергмана. Для флаговых многообразий форма $h_\mu$ отрицательно определена.

Каноническая эрмитова форма однородных комплексных многообразий может быть вычислена в терминах соответствующей алгебры Ли (Koszul. 1955). Это служит основой для алгебраизации теории однородных ограниченных областей и других однородных комплексных многообразий.

Одно из направлений в теории однородных комплексных многообразий состоит в изучении голоморфных функций на них при помощи аппарата линейных представлений групп Ли. Например, этим способом доказано (Онищик. 1960), что многообразие $G/H$ смежных классов полупростой комплексной группы Ли $G$ по связной замкнутой комплексной подгруппе $H$ является многообразием Штейна тогда и только тогда, когда подгруппа $H$ редуктивна.

Существуют однородные комплексные многообразия, не допускающие транзитивной группы Ли автоморфизмов (Kaup. 1967).