Метри́ческая тео́рия чи́сел, раздел теории чисел, в котором изучаются и метрически (т. е. на основе теории меры) характеризуются множества чисел, обладающих определёнными арифметическими свойствами. Метрическая теория чисел тесно связана с теорией вероятностей, что иногда даёт возможность использовать её методы и результаты для анализа теоретико-числовых моделей.

Многие задачи, касающиеся арифметических свойств отдельных чисел, допускают также метрическую постановку; например, наряду с вопросом о том, будет ли равномерно распределена последовательность дробных долей $\{\alpha n\}$, $n=1,2, \ldots$, при $\alpha=\sqrt{2}$ или $\ln 3$, можно ставить вопрос о том, какова мера Лебега тех $\alpha$ из интервала $(0,1)$, для которых эта последовательность равномерно распределена. Такое метрическое обобщение задачи часто оказывается весьма полезным и даёт возможность представить явление в целом. Иногда на основе метрических рассуждений без особого труда удаётся доказать существование чисел с определёнными арифметическими свойствами, тогда как прямое построение таких чисел бывает сложным (нормальные числа Бореля, числа с определёнными свойствами аппроксимации и т. п.).

Наиболее значительные достижения метрической теории чисел относятся к метрической теории диофантовых приближений, к теории равномерного распределения числовых последовательностей, к теории цепных дробей и другим областям теории чисел.

Одной из первых теорем метрической теории чисел является теорема Бореля (Е. Borel, 1909): почти все (в смысле меры Лебега) действительные числа $\alpha$ интервала $(0,1)$ нормальны в системе счисления с любым целым основанием $g$. В другой равносильной формулировке эта теорема утверждает, что дробные доли $\left\{\alpha g^n\right\}$, $n=1,2, \ldots$, равномерно распределены на интервале $(0,1)$. Теорема Бореля обобщалась и углублялась многими математиками. Плодотворной оказалась точка зрения, основанная на том, что «цифры» $0,1, \ldots, g-1$, встречающиеся в разложении $\alpha$ в системе счисления с основанием $g$ ($g$-ичной системе), являются независимыми случайными величинами. Явно или неявно основываясь на этом обстоятельстве и применяя методы, разработанные в теории вероятностей для отыскания асимптотических законов распределения сумм независимых и слабо зависимых случайных величин, были решены основные вопросы, касающиеся распределения «цифр» $0,1, \ldots, g - 1$, и произвольных групп «цифр» в $g$-ичном разложении чисел $\alpha$, «случайно» выбираемых в интервале $(0,1)$. Например, полагая

$$\alpha=\frac{a_1}{g}+\frac{a_2}{g^2}+\ldots,$$где $a_i$ – числа ряда $0,1, \ldots, g-1$, находят, что $a_i=a_i(\alpha)$ можно рассматривать как независимые случайные величины, определённые на интервале $(0,1)$ с мерой Лебега на этом интервале в качестве вероятностной меры. Если $a$ – любое число ряда $0,1, \ldots, g-1$, $k_n(\alpha)$ – число тех $i \leqslant n$, для которых $a_i(\alpha)=a$ при данном $\alpha$, то

$$(k_n(\alpha)-n / g) g / \sqrt{n(g-1)}$$распределяется асимптотически по нормальному закону, т. е. при любом действительном $x$ мера множества тех $\alpha$, для которых

$$k_n(\alpha)-n / g<\frac{x}{g} \sqrt{n(g-1)}$$при $n \rightarrow \infty$ стремится к пределу

$$\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^x e^{-t^2 / 2}\, d t.$$Г. Вейль (1916) доказал, что если $a_n$, $n= 1,2, \ldots$, – произвольная возрастающая последовательность натуральных чисел, то для почти всех $\alpha$ дробные доли $\left\{\alpha a_n\right\}$ равномерно распределены на интервале $(0,1)$. В предположении, что $a_n$ являются значениями некоторой функции, определённой на бесконечном интервале $(1, \infty)$ и обладающей специальными аналитическими условиями, эта теорема допускает уточнения, касающиеся «качества» равномерного распределения. И. Коксма (Koksma. 1936) доказал общую теорему о распределении дробных долей функции двух переменных $f(\alpha, n)$, где $a$ - действительное переменное, принимающее почти все значения из интервала $(1, \infty)$, а $n=1,2, \ldots$. Например, дробные доли $\left\{\alpha^n\right\}$ для почти всех $\alpha>1$ равномерно распределены на интервале $(0,1)$.

Помимо вопросов, связанных с нормальными числами Бореля, одним из основных объектов метрической теории чисел в начале её развития была метрическая теория цепных дробей. Пусть $\alpha$ – действительное число из интервала $(0,1)$, $\alpha=[0, a_1, \ldots]$ – его разложение в цепную дробь, $r_n(\alpha)= \left[a_n, a_{n+1}, \ldots\right]$, $q_n(\alpha)$ – знаменатель $n$-й подходящей дроби $\left[0, a_1, \ldots, a_n\right]$. А. Я. Хинчин установил (1935), что для почти всех $\alpha$ при $n \rightarrow \infty$

$$\begin{aligned} \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n} \rightarrow K & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{k(k+1)}\right)^{\ln k / \ln 2}= \\ & =2,68545 \ldots, \end{aligned}$$и существует такая абсолютная постоянная $\gamma$, что для почти всех $\alpha$ будет $\sqrt[n]{q_n(\alpha)} \rightarrow \gamma$ при $n \rightarrow \infty$. П. Леви нашёл, что $\gamma=\exp \left(\pi^2 / 12 \ln 2\right)$. Кроме того, А. Я. Хинчин (Хинчин. 2004) использовал полученные им результаты о метрических свойствах цепных дробей для доказательства теоремы о приближении чисел рациональными. Пусть $f(x)$ – положительная непрерывная функция положительного аргумента $x$, причём $x f(x)$ – невозрастающая функция. Тогда неравенство

$$|\alpha-p / q|<f(q) / q \tag{*}$$имеет для почти всех $\alpha$ бесконечное множество решений в целых $p$ и $q$ $(q>0)$, если при некотором $c>0$ интеграл

$$\int_c^{\infty} f(x)\, d x$$расходится; напротив, неравенство (*) имеет для почти всех $\alpha$ не более конечного числа решений в целых $p$ и $q$ $(q>0)$, если интеграл сходится для всех $c>0$.

Эта теорема переосмысливалась и обобщалась с различных точек зрения. Она стала исходным пунктом интенсивного развития метрической теории диофантовых приближений. П. Эрдёш (Erdös. 1970), завершая серию работ своих предшественников, получил следующие результаты. Необходимое и достаточное условие того, что для почти всех $\alpha$ бесконечное число $q_i(\alpha)$ содержится в произвольной последовательности $n_1<n_2<\ldots$, есть

$$\sum_{i=1}^{\infty} \varphi\left(n_i\right) n_i^{-2}=\infty,$$где $\varphi(n)$ – функция Эйлера. При этом же условии для почти всех $\alpha$ неравенство

$$\left|\alpha-m / n_i\right|<\varepsilon / n_i^2, \quad (m, n_i)=1,$$где $m$ – целое, $\varepsilon>0$ – любое, имеет бесконечное число решений. Эти результаты близки к гипотезе (1982): если $n_1<n_2<\ldots$ – произвольная последовательность целых чисел, $\delta_i>0$ – любые, то неравенство

$$\left|\alpha-m / n_i\right|<\delta_i / n_i, \quad \left(m, n_i\right)=1,$$имеет бесконечное число решений для почти всех $\alpha$ тогда и только тогда, когда

$$\sum_{i=1}^{\infty} \frac{\delta_i \varphi\left(n_i\right)}{n_i}=\infty.$$Р. О. Кузьмин доказал (1928), что при любом $x \in(0,1)$ мера $m_n(x)$ множества тех $\alpha$, для которых $r_n(\alpha)-a_n<x$, равна

$$\ln (1+x) / \ln 2+O\left(e^{-\lambda \sqrt{n}}\right),$$где $\lambda>0$ – абсолютная постоянная. Асимптотическое соотношение

$$m_n(x) \sim \ln (1+x) / \ln 2\quad(n \rightarrow \infty)$$было известно К. Ф. Гауссу, но он не опубликовал его, а в одном из писем к П.-С. Лапласу указывал, что было бы весьма желательно оценить разность $m_n(x)-\ln (1+x) / \ln 2$. Оценка Кузьмина $O\left(e^{-\lambda \sqrt{n}}\right)$ была улучшена П. Леви (1929) до $O\left(e^{-\lambda n}\right)$. Метод Кузьмина явился источником многих других метрических теорем о цепных дробях.

Современная трактовка метрических вопросов, связанных с нормальными числами Бореля и с теорией цепных дробей, использует идеи эргодической теории. Это основано на том, что отображения интервала $(0,1)$ на себя $\alpha \rightarrow \{\alpha g\}$ и $\alpha \rightarrow\{1 / \alpha\}$, тесно связанные с разложением $\alpha$ в $g$-ичную дробь и цепную дробь соответственно, являются сохраняющими меру и эргодическими: первое сохраняет меру Лебега, второе – меру $\mu(A)$, определяемую для каждого измеримого множества $A$ из $(0,1)$ формулой

$$\mu(A)=\frac{1}{\ln 2} \int_A \frac{d x}{1+x}.$$С этой точки зрения теорема Гаусса – Кузьмина без оценки остаточного члена непосредственно следует из индивидуальной эргодической теоремы Биркгофа. Соображения эргодической теории оказываются полезными и при оценке остатков в некоторых предельных теоремах. Например, результаты А. Я. Хинчина допускают (Philipp. 1967) уточнение:

$$\begin{gathered} \sqrt[n]{a_1 a_2 \ldots a_n}=K+O\left(n^{-1 / 2}(\ln n)^{3 / 2+\varepsilon}\right), \\ \sqrt[n]{q_n(\alpha)}=\exp \left(\pi^2 / 12 \ln 2\right)+O\left(n^{1 / 2}(\ln n)^{2+\varepsilon}\right), \end{gathered}$$где $\varepsilon>0$ – произвольно. Идеи эргодической теории оказываются полезными и во многих других задачах метрической теории чисел (линейные диофантовы приближения, распределение значений матричной показательной функции, алгоритм Якоби – Перрона и др.).

В некоторых случаях метрическая характеристика числовых множеств, основанная на мере Лебега, оказывается слишком грубой, и тогда применяют более тонкие характеристики, например размерности Хаусдорфа. Такой подход оказывается особенно полезным в теории диофантовых приближений и теории трансцендентных чисел. Например, было установлено (Baker. 1970), что при любых фиксированных $n$ и $w \geqslant n+1$ множество тех действительных чисел $x$, для которых неравенство

$$|x-\alpha|<h_\alpha^{-w}$$имеет бесконечное число решений в алгебраических числах $\alpha$ степени $n$ и высоты $h_\alpha$, имеет размерность Хаусдорфа, равную $(n+1)/w$. Если $w<n+1$, то соответствующее неравенство имеет бесконечное число решений для почти всех $x$, в то время как предполагается, что это верно для всех $x$ (гипотеза Вирзинга). Аналогичные результаты известны для комплексных чисел. Они непосредственно связаны с фундаментальными вопросами классификации трансцендентных чисел (Спринджук. 1967).

С метрической точки зрения анализируются не только задачи, касающиеся действительных и комплексных чисел, но также $p$-адических чисел, аделей, формальных степенных рядов и т. д. и вообще элементов всех пространств, в которых введена мера и в которых ставится «арифметическая» задача. В частности, для $p$-адических чисел верны аналоги многих метрических теорем теории равномерного распределения и теории диофантовых приближений действительных чисел, несмотря на то что область $p$-адических чисел отличается своими метрикой и топологией (Спринджук. 1967; Lutz. 1955).

Метрический подход оказывается эффективным при решении «некорректно» поставленных задач, когда недостаток информации об объекте исследования компенсируется допущением «случайного» выбора этого объекта из некоторого множества сходных объектов. При этом, конечно, не удаётся исследовать первоначальный объект, что иногда в принципе невозможно из-за недостатка информации о нём, но получаются выводы, что «почти все» объекты из рассматриваемого множества обладают определёнными свойствами. Например, пусть $A^*=\{1< a_1^*<a_2^*<\ldots\}$ – последовательность натуральных чисел, возрастающая не быстрее некоторой степени, т. е. $a_i<i^\mu$, $\mu= \operatorname{const}$. Ставится вопрос, существует ли такое число $r$, что любое натуральное число можно представить суммой не более чем $r$ слагаемых из $A^*$. Ясно, что имеющейся информации о последовательности $A^*$ недостаточно для решения задачи.

Пусть $\mathfrak{A}$ – множество последовательностей $A= \left\{1<a_1<a_2<\ldots\right\}$ целых чисел, где каждое $a_i$ «случайно» выбирается из отрезка $\left[a_i^*, a_{i+1}^*\right)$. На $\mathfrak{A}$ можно определить меру Лебега и доказать, что для почти всех ${A}$ существует искомое число $r<\infty$ (Спринджук. 1970).

Весьма содержательной и глубокой является связь между «глобальными» утверждениями метрической теории чисел и их «индивидуальными» реализациями. Несмотря на то что почти все элементы некоторого множества обладают определённым свойством, бывает очень трудно установить, что данный конкретный элемент этого множества обладает этим же свойством. Например, Э. Борель высказал предположение, что такие числа, как $\sqrt{2}, e, \pi, \ln 3$ и т. д., нормальны, и хотя почти все числа нормальны, до сих пор (1982) неизвестно, является ли нормальным хотя бы одно из этих чисел. Во многих случаях доказать метрическую теорему легче, чем подобную «индивидуальную». Однако это не означает, что в метрической теории чисел нет глубоких проблем, т. к. многие проблемы метрической теории чисел тесно связаны с некоторыми «индивидуальными» проблемами, что иногда обнаруживается достаточно быстро. С другой стороны, решение «индивидуальных» проблем обнаруживает их связь с метрическими.

Идеи метрической теории чисел играют фундаментальную роль во многих разделах аналитической теории чисел, в особенности тогда, когда используется интегрирование по некоторой мере. В этих случаях вывод какой-либо метрической теоремы не является целью исследования, но метрические соображения используются как промежуточный этап рассуждений. Они могут быть одним из главных принципов, лежащих в основе рассуждения, хотя окончательная формулировка результата не будет содержать никаких метрических понятий. Примером систематического использования такого рода рассуждений является метод Харди – Литлвуда – Виноградова, в котором существенную роль играют метрические свойства приближения чисел рациональными дробями («большие» и «малые» дуги Харди – Литлвуда). Это обстоятельство позволило И. М. Виноградову формулировать свои новые теоремы об оценках сумм Вейля как некоторые метрические теоремы (Виноградов. 1980). Кроме того, метод оценок сумм Вейля И. М. Виноградова носит ярко выраженный метрический характер, где устанавливается связь между «глобальной» оценкой интеграла и «индивидуальной» оценкой конкретной суммы. Примеров такого рода в теории чисел мало.