Метри́ческая тео́рия диофа́нтовых приближе́ний, раздел теории чисел, изучающий метрические свойства чисел, обладающих определёнными свойствами аппроксимации (см. Диофантовы приближения, Метрическая теория чисел). Одной из первых теорем метрической теории диофантовых приближений является теорема Хинчина (см. Khintchine. 1926; Хинчин. 2004), в современной форме утверждающая (см. Касселс. 1961): пусть $\varphi(q)>0$ – монотонно убывающая функция, определённая для целых $q>0$. Тогда неравенства $\|\alpha q\|<\varphi(q)$ для почти всех действительных $\alpha$ имеют бесконечное число решений в целых $q>0$, если расходится ряд
$$\tag{1} \sum_{q=1}^{\infty} \varphi(q),$$и имеют лишь конечное число решений, если этот ряд сходится (здесь и в дальнейшем $\|x\|$ есть расстояние от $x$ до ближайшего целого, т. е.

$$\|x\|=\min |x-a| \text {, }$$где $\min$ берётся по всем целым $a$; выражение «почти все» относится к мере Лебега в соответствующем пространстве). Эта теорема характеризует точность приближения почти всех действительных чисел рациональными дробями. Например, для почти всех $\alpha$ существует бесконечное число рациональных приближений $a / q$, удовлетворяющих неравенству

$$\left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<q^{-2}(\ln q)^{-1},$$в то время как неравенство

$$\left|\alpha-\frac{a}{q}\right|<q^{-2}(\ln q)^{-1-\varepsilon}$$при любом $\varepsilon>0$ имеет бесконечное число решений лишь для множества чисел $\alpha$ нулевой меры.

Обобщение этой теоремы на случай совместных приближений (cм. Касселс. 1961): система неравенств
$$\tag{2} \max \left(\left\|\alpha_1 q\right\|, \ldots,\left\|\alpha_n q\right\|\right)<\varphi(q)$$имеет конечное или бесконечное число решений для почти всех $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right) \in R^n$ в зависимости от того, сходится или расходится ряд
$$\tag{3} \sum_{q=1}^{\infty} \varphi^n(q).$$Более далёкие обобщения относятся к системам неравенств от многих целочисленных переменных (см. Спринджук. 1967).

Характерной особенностью теоремы Хинчина и различных её обобщений является то, что свойство «сходимости – расходимости» рядов типа $(1)$, $(3)$ разграничивает те случаи, когда соответствующий порядок аппроксимации имеет место для множества чисел нулевой меры или для почти всех чисел. Это своего рода закон «нуля – единицы» метрической теории диофантовых приближений. Ещё одной особенностью указанных обобщений является то, что утверждаемое в них метрическое свойство чисел относится к мере, определённой во всём пространстве, которому принадлежат числа, участвующие в аппроксимации, а мера пространства определяется как произведение мер в координатных пространствах. Например, в случае системы $(2)$ речь идёт о приближении $n$ «независимых» чисел и о мере Лебега в $\mathbb{R}^n=\mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \ldots \times \mathbb{R}$ ($n$ раз). В связи с этим рассмотренная часть метрической теории диофантовых приближений стала называться метрической теорией диофантовых приближений независимых величин. Эта часть метрической теории диофантовых приближений разработана достаточно хорошо, хотя остаётся ряд нерешённых (к 1978) вопросов. Одним из них является вопрос о том, какие условия нужно наложить на последовательность измеримых множеств $A(q)$, $q=1,2, \ldots$, интервала $[0,1]$, чтобы сходимость или расходимость ряда $\sum q^{|A(q)|}$ соответствовала конечному или бесконечному числу выполнений условия $\alpha q \in A(q) \bmod 1$ для почти всех $\alpha$. Аналогичная задача возникает в случае системы чисел $\left(\alpha_1 q, \alpha_2 q, \ldots, \alpha_n q\right)$ (cм. Cassels. Some metrical theorems in diophantine approximation. I. 1950; ... III. 1950).

Метрическая теория диофантовых приближений зависимых величин, возникшая позднее, сразу выдвинула ряд глубоких и своеобразных проблем (cм. Спринджук. 1967). Первая из них происходила из теории трансцендентных чисел (гипотеза Малера) и касалась совместных рациональных приближений к системе чисел $t, t^2, \ldots, t^n$ для почти всех $t$ при любом фиксированном натуральном $n$. Один из последних результатов, полученных в этом направлении, состоит в следующем: пусть $\varphi(q)>0$ – монотонно убывающая функция, для которой ряд

$$\sum_{q=1}^{\infty} q^{-1} \varphi(q)$$сходится. Тогда система неравенств

$$\max \left(\|t q\|,\left\|t^2 q\right\|, \ldots,\left\|t^n q\right\|\right)<q^{1 / n} \varphi^n(q)$$для почти всех $t$ имеет лишь конечное число решений в целых $q>0$ (см. Baker. 1966).

Эта теорема утверждает определённое свойство аппроксимации рациональными числами почти всех точек кривой $\Gamma \subset \mathbb{R}^n$. Можно рассматривать более общие многообразия в $\mathbb{R}^n$ и получать подобные результаты.

Если почти все (в смысле меры на $\Gamma$) точки $\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\right)$ многообразия $\Gamma$ таковы, что система $(2)$ с $\varphi(q)=q^{-1 / n-2}$ имеет конечное число решений в целых $q>0$ при любом $\varepsilon>0$, то $\Gamma$ называется экстремальным, т. е. почти все точки допускают лишь наихудшую совместную аппроксимацию рациональными числами. Известна теорема Шмидта: если $\Gamma$ – кривая в $\mathbb{R}^2$, имеющая почти во всех своих точках отличную от нуля кривизну, то она экстремальна (Schmidt. 1964).

Метод тригонометрических сумм (см. также Метод Виноградова) позволяет обнаружить свойство экстремальности у многообразий $\Gamma$ весьма широкого класса в $\mathbb{R}^n$, но при условии, что топологическая размерность $\operatorname{dim} \Gamma \geqslant n / 2$. Если же $\operatorname{dim} \Gamma<n / 2$, то экстремальное многообразие не может быть слишком общим и его структура должна указываться достаточно определённо (Спринджук В. Г. Метод тригонометрических сумм ... . 1972).