Распределе́ние дро́бных доле́й, распределение в единичном интервале $[0,1)$ дробных долей $\left\{\alpha_j\right\}$ последовательности действительных чисел $\alpha_j$, $j= 1,2, \ldots$ . Последовательность дробных долей $\left\{\alpha_j\right\}$, $j=1,2, \ldots$ , называется равномерно распределённой в интервале $[0,1)$, если для каждого интервала $[a, b) \subset[0,1)$ имеет место равенство

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\varphi_n(a, b)}{n}=b-a,$$где $\varphi_n(a, b)$ – число первых $n$ членов $\left\{\alpha_j\right\}$, $1 \leqslant j \leqslant n$, последовательности $\left\{\alpha_j\right\}$, $j=1,2, \ldots$ , попавших в $[a, b)$. При этом последовательность чисел $\alpha_i$, $j= 1,2, \ldots$ , называется равномерно распределённой по модулю 1.

Критерий Вейля (Weyl. 1916) для равномерно распределённых дробных долей: бесконечная последовательность дробных долей $\left\{\alpha_j\right\}$, $j=1,2, \ldots$ , равномерно распределена в единичном интервале $[0,1)$ тогда и только тогда, когда

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n f\left(\left\{\alpha_j\right\}\right)=\int_0^1 f(x)\, d x$$для любой интегрируемой по Риману на отрезке $0 \leqslant x \leqslant 1$ функции $f(x)$. Это утверждение эквивалентно следующему. Для того чтобы последовательность $\alpha_j$, $j= 1,2, \ldots$ , была равномерно распределена по модулю 1, необходимо и достаточно, чтобы

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{2 \pi i m \alpha_j}=0$$для каждого целого $m \neq$0. Из критерия Вейля и его оценок тригонометрических сумм

$$\sum_{x-1}^p e^{2 \pi i f(x)}$$следует, что если хотя бы один из коэффициентов $a_s$, $1 \leqslant s \leqslant k$, многочлена

$$f(x)=a_k x^k+\ldots+a_1 x$$иррационален, то последовательность дробных долей $\{f(n)\}$, $n=1,2, \ldots$ , равномерно распределена в интервале $[0,1)$.

Понятию равномерного распределения дробных долей $\left\{\alpha_j\right\}$, $j=1,2, \ldots$ , можно придать количественный характер, если ввести в рассмотрение величину

$$D_n=\sup _{0 \leqslant a<b \leqslant 1}\left|\frac{\varphi_n(a, b)}{n}-(b-a)\right|,$$называемую отклонением первых $n$ членов последовательности $\left\{\alpha_j\right\}$, $j=1,2, \ldots$ (Виноградов. 1971; Хуа Логэн. 1964).