Аффи́нная схе́ма, обобщение понятия аффинного многообразия, играющее роль локального объекта в теории схем. Пусть $A$ – коммутативное кольцо с единицей. Аффинная схема состоит из топологического пространства $\operatorname{Spec} A$ и пучка колец $\widetilde{A}$ на $\operatorname{Spec} A$. При этом $\operatorname{Spec} A$ есть множество всех простых идеалов кольца $A$ (называемых точками аффинной схемы), наделённое топологией Зариского (или, что то же, спектральной топологией), в которой базис открытых множеств составляют подмножества $D(f)=\{\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} A,\; f \in \mathfrak{p}\}$, когда $f$ пробегает элементы кольца $A$. Пучок локальных колец $\widetilde{A}$ определяется условием $\Gamma(D(f), \widetilde{A}) = A_f$, где $A_f$ – кольцо частных кольца $A$ относительно мультипликативной системы $\left\{f^n\right\}_n \geqslant 0.$

Аффинные схемы введены А. Гротендиком (Grothendieck. 1960) при построении теории схем. Схема есть окольцованное пространство, локально изоморфное аффинной схеме.

Аффинная схема $\operatorname{Spec} A$ называется нётеровой аффинной схемой (соответственно целостной, приведённой, нормальной, регулярной), если кольцо $A$ нётерово (соответственно целостно, без нильпотентов, целозамкнуто, регулярно). Аффинная схема называется связной (соответственно неприводимой, дискретной, квазикомпактной), если таковым является топологическое пространство $\operatorname{Spec} A$. Пространство $\operatorname{Spec} A$ аффинной схемы всегда квазикомпактно.

Аффинные схемы образуют категорию, если морфизмами аффинных схем считать морфизмы этих схем как локально окольцованных пространств. Каждый гомоморфизм колец $\varphi: A \rightarrow B$ определяет морфизм аффинной схемы: $(\operatorname{Spec} B, \widetilde{B}) \rightarrow(\operatorname{Spec} A, \widetilde{A})$, состоящий из непрерывного отображения ${ }^a \varphi:~ \operatorname{Spec} B \rightarrow \operatorname{Spec} A$ $\left({ }^a \varphi(\mathfrak{p})=\varphi^{-1}(\mathfrak{p})\right.$ для $\left.\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec} B\right)$ и гомоморфизма пучков колец $\widetilde{\varphi}: \widetilde{\mathrm{A}} \rightarrow{ }^a \varphi_*(\widetilde{B})$, переводящего сечение $a / f^n$ пучка $\widetilde{A}$ над множеством $D(f)$ в сечение $\varphi(a) / \varphi\left(f^n\right)$. Морфизмы произвольной схемы $(X, \mathcal{O}_X)$ в аффинной схеме $(\operatorname{Spec}A,A)$ (называемые также $X$-значными точками схемы $\operatorname{Spec} A$) взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам колец $A \rightarrow \Gamma(X, \mathcal{O}_X)$; тем самым сопоставление $A \mapsto(\operatorname{Spec} A, \widetilde{A})$ является контравариантным функтором из категории коммутативных колец с единицей в категорию аффинных схем, устанавливающим антиэквивалентность этих категорий. В частности, в категории аффинных схем существуют конечные прямые суммы и расслоённые произведения, двойственные конструкциям прямой суммы и тензорного произведения колец. Морфизмы аффинных схем, соответствующие сюръективным гомоморфизмам колец, называются замкнутыми вложениями аффинных схем.

Наиболее важными примерами аффинных схем являются аффинные многообразия; другими примерами служат аффинные групповые схемы.

Подобно тому как строится пучок $\widetilde{A}$, для любого $A$-модуля $M$ может быть построен пучок $\widetilde{A}$-модулей $\widetilde{M}$ на $\operatorname{Spec} A$, для которого

$$\Gamma(D(f), \widetilde{M})=M_f=M \underset{A}{\otimes} A_f .$$Такие пучки являются квазикогерентными пучками. Категория $A$-модулей эквивалентна категории квазикогерентных пучков $\widetilde{A}$-модулей на $\operatorname{Spec} A$; проективным модулям соответствуют локально свободные пучки. Когомологии квазикогерентных пучков на аффинных схемах описываются теоремой Серра:

$$H^q(\operatorname{Spec} A, \widetilde{M})=0\,\, \text { при } \,\,q>0 .$$Обращение этой теоремы – критерий аффинности Серра – утверждает, что если $\left(X, \mathcal {O}_X\right)$ – квазикомпактная отделимая схема и $H^1(X,F)=0$ для любого квазикогерентного пучка $\mathcal{O}_X$-модулей $F$, то $X$ есть аффинная схема. Существуют и другие критерии аффинности (Grothendieck. 1960; Goodman. 1969).