Лока́льно за́мкнутое мно́жество, подмножество $A$ топологического пространства $X$, каждая точка $x\in A$ которого обладает такой окрестностью $U$ в $X$, что множество $A\cap U$ замкнуто в подпространстве $U$ пространства $X$; в этом случае $A$ (как подпространство пространства $X$) также называется локально замкнутым подпространством пространства $X$.

Для подмножества $A$ топологического пространства $X$ следующие условия равносильны:

(i) $A$ локально замкнуто в $X$;

(ii) $A$ является открытым подмножеством своего замыкания $\overline A$ в $X$;

(iii) множество $\overline A\setminus A$ (совпадающее с множеством $A^{\mathrm{d}}\setminus A$, где $A^{\mathrm{d}}$ – производное множество) замкнуто в $X$;

(iv) $A$ можно представить в виде $F\cap V$, где $F$ – замкнутое, а $V$ – открытое множество в $X$ (т. е. $A$ является пересечением замкнутого и открытого подмножеств пространства $X$);

(v) $A$ является разностью двух замкнутых подмножеств пространства $X$;

(vi) $A$ является разностью двух открытых подмножеств пространства $X$;

(vii) $A$ открыто в некотором замкнутом подпространстве пространства $X$;

(viii) $A$ замкнуто в некотором открытом подпространстве пространства $X$.

Если $A$ локально замкнуто в $X$, то множество $$X\setminus(\overline{A}\setminus A)=(X\setminus\overline{A})\cup A$$ является наибольшим среди открытых в $X$ множеств $V$, таких, что $A\subset V$ и $A$ замкнуто в $V$.

Если $f\colon X\to Y$ – непрерывное отображение, то прообраз $f^{-1}(L)$ любого локально замкнутого в $Y$ множества $L$ локально замкнут в $X$.

Все замкнутые и все открытые в $X$ множества локально замкнуты в $X$; если множество $A$ всюду плотно и локально замкнуто в $X$, то оно открыто.

Если множество $B$ локально замкнуто в $X$, а множество $A$ локально замкнуто в $B$ (где $B$ рассматривается как топологическое подпространство пространства $X$), то $A$ локально замкнуто в $X$, т. е. отношение «быть локально замкнутым подпространством» транзитивно. Пересечение конечного семейства локально замкнутых множеств локально замкнуто; объединение двух локально замкнутых множеств и дополнение локально замкнутого множества может и не быть локально замкнутым. Наименьшая булева алгебра подмножеств пространства $X$, содержащая семейство всех его открытых (или, эквивалентно, замкнутых) подмножеств, совпадает с семейством всевозможных конечных объединений локально замкнутых подмножеств пространства $X$.

Если пространство $X$ регулярно, то условие локальной замкнутости множества $A\subset X$ эквивалентно следующему: для каждой точки $x\in A$ существует такая её окрестность $U$ в $X$, что множество $A\cap\overline U$ замкнуто в $X$.

Подмножество $A$ топологического пространства $X$ называется локально замкнутым в точке $x\in A$, если существует такая окрестность $U$ точки $x$ в $X$, что множество $A\cap U$ замкнуто в подпространстве $U$. Таким образом, множество локально замкнуто тогда и только тогда, когда оно локально замкнуто в каждой своей точке. Для произвольного $A\subset X$ множество точек $x\in X$, в которых множество $A$ не является локально замкнутым в $X$, совпадает с множеством $$A\cap\overline{\overline{A}\setminus A},$$называемым вычетом (в смысле Ф. Хаусдорфа) множества $A$.

Впервые систематическое исследование подмножеств евклидова пространства $\mathbb{R}^n$, представимых в виде разности двух замкнутых множеств, было осуществлено К. Куратовским и В. Серпиньским (Kuratowski. 1921). Они установили (по существу, для случая не только евклидова, но и произвольного топологического пространства) эквивалентность условий (v) и (iii), указанных выше, а также доказали, что каждое множество в $\mathbb{R}^n$, представимое в виде разности двух замкнутых множеств, гомеоморфно некоторому замкнутому множеству в $\mathbb{R}^{n+1}$. Оригинальное рассуждение Куратовского и Серпиньского легко может быть модифицировано для доказательства более общего утверждения: каждое локально замкнутое подмножество совершенно нормального (в частности, метризуемого) пространства $X$ гомеоморфно некоторому замкнутому подмножеству пространства $X\times\mathbb R$.

Термин «локально замкнутое множество» принадлежит К. Куратовскому (Kuratowski. 1933). Однако первоначальное определение этого понятия, данное им в соответствии с его концепцией «локализации свойств» подмножества топологического пространства в точке, состояло в следующем: подмножество $A$ топологического пространства $X$ локально замкнуто в точке $x\in A$, если существует такая (необязательно открытая) окрестность $G$ точки $x$ в $X$, что множество $A\cap G$ замкнуто в $X$. Это определение эквивалентно современному (принятому в настоящей статье) лишь в случае регулярности пространства $X$.

Современное определение локально замкнутого множества появилось в 3-м издании «Общей топологии» Н. Бурбаки (Bourbaki. 1961; русский перевод: Бурбаки. 1968. §3, п. 3), там же была отмечена эквивалентность свойств (i), (ii), (iv). Определение Бурбаки было принято К. Куратовским в новом расширенном издании его «Топологии» (Kuratowski. 1966; русский перевод: Куратовский. 1966. §7, V).