Характеристи́ческий функциона́л, аналог понятия характеристической функции, используемый в бесконечномерном случае. Пусть $\mathfrak{X}$ – непустое множество, $\Gamma$ – векторное пространство определённых на $\mathfrak{X}$ действительных функций, $\widehat{C}(\mathfrak{X}, \Gamma)$ – наименьшая $\sigma$-алгебра подмножеств $\mathfrak{X}$, относительно которой измеримы все функции из $\Gamma$. Характеристический функционал вероятностной меры $\mu$, заданной на $\hat{C}(\mathfrak{X}, \Gamma)$, определяется как комплекснозначный функционал $\hat{\mu}$ на $\Gamma$ равенством$$\hat{\mu}(g)=\int_{\mathfrak{X}} \exp [i g(x)] d \mu(x),\quad g \in \Gamma.$$Ниже имеется в виду наиболее важный и простой случай, когда $\mathfrak{X}$ есть сепарабельное действительное банахово пространство и $\Gamma$ совпадает с его топологическим сопряжённым $\mathfrak{X}^*$. В этом случае $\hat{C}(\mathfrak{X}, \mathfrak{X}^*)$ совпадает с $\sigma$-алгеброй борелевских множеств пространства $\mathfrak{X}$. Понятие «характеристический функционал» для бесконечномерных банаховых пространств ввёл А. Н. Колмогоров (Kolmogorov. 1935).

Характеристический функционал случайного элемента $X$ со значениями в $\mathfrak{X}$, по определению, есть характеристический функционал его вероятностного распределения $\mu_X(B)=\mathrm{P}\{X \in {B}\}$, $B \subset \mathfrak{X}$.

Основные свойства характеристического функционала:

1. $\hat{\mu}(0)=1$ и $\hat{\mu}$ положительно определён, т. е. $\sum_{k, l} \alpha_k \bar{\alpha}_l \hat{\mu}\left(x_k^*-x_l^*\right) \geqslant 0$ для любых конечных наборов комплексных чисел $\alpha_i$ и элементов $x_i^* \in \mathfrak{X}^*$.

2. $\hat{\mu}$ непрерывен в сильной топологии и секвенциально непрерывен в $*$-слабой топологии пространства $\mathfrak{X}^*$.

3. $\left|\hat{\mu}\left(x^*\right)\right| \leqslant 1$,$$\begin{gathered} \left|\hat{\mu}\left(x_1^*\right)-\hat{\mu}\left(x_2^*\right)\right|^2 \leqslant 2\left[1-\operatorname{Reel} \hat{\mu}\left(x_1^*-x_2^*\right)\right], \\ x^*, x_1^*, x_2^* \in \mathfrak{X}^*. \end{gathered}$$4. $\overline{\hat{\mu}(g)}=\hat{\mu}(-g)$; в частности $\hat{\mu}$ принимает только действительные значения (и является чётным функционалом) в том и только в том случае, когда мера $\mu$ симметрична, т. е. $\mu(B)=\mu(-B)$, где $-B=\{x:-x \in B\}$.

5. Характеристический функционал однозначно определяет меру.

6. Характеристический функционал свёртки двух вероятностных мер (суммы двух независимых случайных величин) есть произведение их характеристического функционала.

В конечномерном случае метод характеристического функционала основан на теореме о непрерывности соответствия между мерами и их характеристического функционала и на теореме об описании класса характеристического функционала. В бесконечномерном случае прямые аналоги этих теорем не имеют места. Если последовательность вероятностных мер $\left(\mu_n\right)$ слабо сходится к $\mu$, то $\left(\hat{\mu}_n\right)$ поточечно сходится к $\hat{\mu}$ и эта сходимость равномерна на ограниченных множествах из $\mathfrak{X}^*$; если $K$ есть слабо относительно компактное семейство вероятностных мер в $\mathfrak{X}$, то семейство $\{\hat{\mu}: \mu \in K\}$ равностепенно непрерывно в сильной топологии пространства $\mathfrak{X}^*$. Обратные утверждения верны только в конечномерном случае. Однако условия сходимости и слабой относительной компактности семейств вероятностных мер можно выразить в терминах характеристического функционала (см. Прохоров. 1956). В отличие от конечномерного случая, не всякий положительно определённый нормированный (равный в нуле единице) непрерывный функционал является характеристическим функционалом – непрерывности в метрической топологии не хватает. Топология в $\mathfrak{X}^*$ называется достаточной, соответственно необходимой, если в этой топологии непрерывность положительно определённого нормированного функционала достаточна, соответственно необходима, для того чтобы он был характеристическим функционалом некоторой вероятностной меры в $\mathfrak{X}$. Необходимая и достаточная топология называется $S$-топологией. Пространство $\mathfrak{X}$ называется $S$-пространством, если в $\mathfrak{X}^*$ существует $S$-топология. Гильбертово пространство является $S$-пространством (см. Сазонов. 1958).

Наиболее важный класс характеристического функционала – характеристические функционалы гауссовских мер. Мера $\mu$ в $\mathfrak{X}$ называется центрированной гауссовской, если для всех $x^*\in \mathfrak{X}^*$$$\tag{*}\hat{\mu}\left(x^*\right)=\exp \left[-\frac{1}{2} x^*\left(R x^*\right)\right],$$где $R$ – ограниченный линейный положительный оператор из $\mathfrak{X}^*$ в $\mathfrak{X}$ – ковариационный оператор меры $\mu$, который определяется соотношением$$x^*\left(R x^*\right)=\int x^{* 2}(x) d \mu(x)$$(см. Вахания. 1985). В отличие от конечномерного случая, не всякий функционал вида (*) является характеристическим функционалом – нужны дополнительные ограничения на $R$, зависящие от пространства $\mathfrak{X}$. Например, если $\mathfrak{X}=l_p$, $1 \leqslant p<\infty$, то дополнительным (необходимым и достаточным) условием является условие $\sum r_{k k}^{p / 2}<+\infty$, где $\left\|r_{i j}\right\|$ матрица оператора $R$ в естественном базисе (см. Vakhaniа. 1965). В частности, в гильбертовом пространстве дополнительным условием является ядерность оператора $R$.