Бесконечноме́рное простра́нство, нормальное $T_1$-пространство $X$ такое, что ни для какого $n=-1, 0, 1, \dots$ не выполняется неравенство $\dim X \leqslant n$, т. е. $X\neq \varnothing$, и для любого $n= 0, 1, 2,\dots$ найдётся такое конечное открытое покрытие $\omega_n$ пространства $X$, что любое вписанное в $\omega_n$ конечное открытое покрытие этого пространства будет иметь кратность $> n+1$. Примерами бесконечномерных пространств могут служить гильбертов кирпич $I^\infty$ и тихоновский куб $I^\tau$. Большинство встречающихся в функциональном анализе пространств также бесконечномерно.

Нормальное $T_1$-пространство $X$ называется бесконечномерным в смысле большой (соответственно, малой) индуктивной размерности, если неравенство $\operatorname{Ind}X \leqslant n$ (соответственно $\operatorname{ind} X \leqslant n$) не выполняется ни для какого $n=-1, 0, 1, \dots$. Если $X$ есть бесконечномерное пространство, то оно бесконечномерно в смысле большой индуктивной размерности. Если, кроме того, $X$ есть компакт, то он бесконечномерен также и в смысле малой индуктивной размерности. Бесконечномерность метрического пространства равносильна его бесконечномерности в смысле большой индуктивной размерности. Существуют конечномерные компакты, бесконечномерные в смысле малой (следовательно, и большой) индуктивной размерности.

Одним из наиболее естественных подходов к изучению бесконечномерных пространств является введение малой трансфинитной размерности $\operatorname{ind} X$ и большой трансфинитной размерности $\operatorname{Ind} X$. Этот подход заключается в распространении определений малой и большой индуктивных размерностей на бесконечные порядковые числа. Не для всякого бесконечномерного пространства $X$ определены трансфинитные размерности $\operatorname{ind} X$ и $\operatorname{Ind} X$. Например, обе эти размерности не определены для гильбертова кирпича. Для пространства $\cup I^n$, распадающегося в дискретную сумму $n$-мерных кубов $I^n$, $n= 0, 1, 2,\dots$, малая трансфинитная размерность не определена.

Если для нормального пространства $X$ определена трансфинитная размерность $\operatorname{ind} X$ $($соответственно $\operatorname{Ind} X)$, то она равна порядковому числу, мощность которого не превосходит веса $wX$ $($соответственно большого веса $WX )$ пространства $X$. В частности, если пространство $X$ обладает счётной базой, то $\operatorname{ind} X < \omega_1$, а если $X$ – компакт, то и $\operatorname{Ind} X < \omega_1$. Для метрических пространств также $\operatorname{Ind} X < \omega_1$. Если $\alpha < \omega_1$, то существуют компакты $S_\alpha$ и $L_\alpha$, для которых $\operatorname{Ind} S_\alpha = \alpha$, $\operatorname{ind} L_\alpha = \alpha$.

Если трансфинитная размерность $\operatorname{Ind} X$ определена, то определена трансфинитная размерность $\operatorname{ind} X$ и $\operatorname{ind} X \leqslant\operatorname{Ind} X$. Построены компакты, для которых трансфинитная размерность $\operatorname{Ind} X$ определена и $\omega_0 < \operatorname{ind} X < \operatorname{Ind} X$.

Из определённости трансфинитной размерности $\operatorname{ind} X$ $($соответственно $\operatorname{Ind} X)$ пространства $X$ вытекает определённость трансфинитной размерности $\operatorname{ind} X$ $($соответственно $\operatorname{Ind} A)$ для любого (соответственно любого замкнутого) множества $A\subseteq X$ и выполняется неравенство $\operatorname{ind} A \leqslant \operatorname{ind}X$ $($соответственно $\operatorname{Ind} A \leqslant \operatorname{Ind}X)$.

Для максимального компактного расширения $\beta X$ нормального пространства $X$ выполняется равенство $\operatorname{Ind} \beta X = \operatorname{Ind}X$. Нормальное пространство $X$ веса $\tau$ и трансфинитной размерности $\operatorname{Ind} X \leqslant \alpha$ обладает компактным расширением $bX$ веса $\tau$ и размерности $\operatorname{Ind} bX \leqslant \alpha$. Существует пространство $L$ со счётной базой и размерности $\operatorname{ind} L = \omega_0$, у которого никакое компактное со счётной базой расширение $bX$ не имеет размерности $\operatorname{ind} bX = \omega_0$. Метризуемое пространство $R$ трансфинитной размерности $\operatorname{Ind} R = \alpha$ обладает метрикой, пополнение $cR$ по которой имеет размерность $\operatorname{Ind} cR = \alpha$. Метризуемое со счётной базой пространство $R$ трансфинитной размерности $\operatorname{ind} R = \alpha$ обладает метрикой, пополнение $cR$ по которой имеет размерность $\operatorname{ind} cR = \alpha$.

Класс пространств, для которых определена большая или малая трансфинитная размерность, тесно связан с классом счётномерных пространств: если полное метрическое пространство счётномерно, то для него определена малая трансфинитная размерность; если для пространства со счётной базой определена малая трансфинитная размерность, то оно счётномерно; если для метрического пространства определена большая трансфинитная размерность (в частности, если оно конечномерно), то оно счётномерно; для счётномерного компакта определена большая трансфинитная размерность. Пространство $\cup I^n$ счётномерно и бесконечномерно. Гильбертов кирпич не счётномерен.

Счётномерность метрического пространства $R$ эквивалентна любому из следующих свойств: а) существует конечнократное $($но, вообще говоря, не $k$-кратное ни для какого $k=1,2,\dots )$ непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрического пространства на пространство $R$; б) существует счётнократное непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрического пространства на пространство $R$.

Теоремы о представимости $n$-мерного метрического пространства в виде суммы $n+1$ нульмерных слагаемых и в виде образа нульмерного метрического пространства при непрерывном замкнутом и $(n+1)$-кратном отображении указывают на естественность рассмотрения класса счётномерных (метрических) пространств и на его близость к классу конечномерных пространств. Как и в конечномерном случае, в классе счётномерных метрических пространств веса $\leqslant\tau$ существует универсальное в смысле гомеоморфного вложения пространство.

Если нормальное пространство представлено в виде конечной или счётной суммы своих счётномерных подпространств, то оно счётномерно. Подпространство счётномерного совершенно нормального пространства счётномерно.

Взаимоотношения между счётномерными и не счётномерными пространствами описывает следующее утверждение: если отображение $f\colon R\to S$ метрических пространств $R$ и $S$ непрерывно и замкнуто, пространство $R$ счётномерно, а пространство $S$ не счётномерно, то множество $\{y \in S \colon |f^{-1}y |\geqslant c\}$ также не счётномерно.

Помимо счётномерных пространств, естественным расширением класса конечномерных пространств является класс слабо счётномерных пространств. Если рассматривать только метризуемые пространства, то слабо счётномерные пространства занимают промежуточное положение между конечномерными и счётномерными пространствами. При этом существуют счётномерные не слабо счётномерные компакты, а пространство $\cup I^n$ слабо счётномерно и бесконечномерно. Замкнутое подпространство слабо счётномерного пространства слабо счётномерно. Нормальное пространство слабо счётномерно, если оно представимо в виде конечной или счётной суммы своих слабо счётномерных замкнутых подмножеств.

В классах нормальных слабо счётномерных и метрических слабо счётномерных пространств существуют универсальные в смысле гомеоморфного вложения пространства. В случае пространств со счётной базой таким пространством будет подпространство $I^\omega$ гильбертова кирпича, состоящее из всех тех точек, лишь конечное число координат которых отлично от нуля. Пространство $I^\omega$ не имеет слабо счётномерных бикомпактных расширений.

Все рассмотренные выше классы бесконечномерных пространств «не очень бесконечномерны», если их сравнивать, например, с гильбертовым кирпичом. Задача отделения «не очень бесконечномерных» пространств от «очень бесконечномерных» была решена П. С. Александровым и Ю. М. Смирновым посредством введения классов $A$- и $S$-слабо бесконечномерных и $A$- и $S$-сильно бесконечномерных нормальных пространств. Любое конечномерное пространство $S$-слабо бесконечномерно, а любое $S$-слабо бесконечномерное пространство также $A$-слабо бесконечномерно. Пространство $\cup I^n$ является $A$-слабо бесконечномерным, но $S$-сильно бесконечномерным.

В случае компактов определения $A$- и $S$-слабой (сильной) бесконечномерности эквивалентны, поэтому $A$-слабо (сильно) бесконечномерные компакты называются просто слабо (сильно) бесконечномерными. Гильбертов кирпич сильно бесконечномерен. Существуют бесконечномерные и слабо бесконечномерные компакты.

Замкнутое подпространство $A$- $(S$-$)$ слабо бесконечномерных пространств является $A$- $(S$-$)$ слабо бесконечномерным. Нормальное пространство, являющееся суммой конечного числа своих замкнутых $S$-слабо бесконечномерных множеств, само $S$-слабо бесконечномерно. Паракомпакт, являющийся суммой конечной или счётной системы своих замкнутых $A$-слабо бесконечномерных множеств, сам $A$-слабо бесконечномерен. Наследственно нормальное пространство, являющееся суммой конечной или счётной системы своих $A$-слабо бесконечномерных множеств, само $A$-слабо бесконечномерно.

Слабо счётномерный паракомпакт является $A$-слабо бесконечномерным. Наследственно нормальное счётномерное пространство является $A$-слабо бесконечномерным.

Изучение любых $S$-слабо бесконечномерных метризуемых пространств следующим образом сводится к компактному случаю: тогда и только тогда метризуемое пространство $R$ является $S$-слабо бесконечномерным, когда его можно так представить в виде суммы слабо бесконечномерного компакта и конечномерных открытых множеств $O_n$, $n=1,2,\dots$, что для любой дискретной последовательности точек$$x_i \in R, \quad i=1,2,\dots,$$существует (зависящее от последовательности) множество $O_n$, содержащее все точки $x_i$, начиная с некоторой.

Другую возможность изучать бесконечномерные компакты вместо любых $S$-слабо бесконечномерных пространств дают следующие утверждения: максимальное компактное расширение $S$-слабо бесконечномерного пространства – слабо бесконечномерно; любое нормальное $S$-слабо бесконечномерное пространство веса $\tau$ обладает слабо бесконечномерным компактным расширением веса $\tau$. Все компактные расширения $A$-слабо бесконечномерного пространства $I_\omega$ сильно бесконечномерны.

Компакт сильно бесконечномерен тогда и только тогда, когда имеется такое непрерывное отображение $f \colon X \to I^\infty$, что для любого множества$$I^n = \{y=(y_i) \in I^\infty; \quad y_i =0, \quad i > n\}$$(гомеоморфного $n$-мерному кубу) ограничение отображения $f$ на прообраз $f^{-1}I^n$ является существенным отображением.

Существует бесконечномерный компакт, любое непустое замкнутое подпространство которого или нульмерно, или бесконечномерно. Более того, любой сильно бесконечномерный компакт содержит подкомпакт, любое непустое замкнутое подпространство которого или нульмерно, или сильно бесконечномерно. В любом сильно бесконечномерном компакте содержится бесконечномерное канторово многообразие (в смысле П. С. Александрова).

Все сепарабельные банаховы пространства гомеоморфны между собой, $A$-сильно бесконечномерны и гомеоморфны произведению счётной системы прямых.