Интерполи́рование опера́торов, получение из известных свойств оператора в двух или нескольких пространствах выводов о свойствах этого оператора в некоторых в определённом смысле промежуточных пространствах. Банаховой парой A, B называются два банаховых пространства, алгебраически и непрерывно вложенные в отделимое линейное топологическое пространство A. На пересечении A∩B вводится норма
∥x∥A∩B=max{∥x∥A,∥x∥B};на арифметической сумме A+B – норма
∥x∥A+B=x=u+vinf{∥u∥A+∥v∥B}.Пространства A∩B и A+B банаховы. Банахово пространство E называется промежуточным для пары A, B, если A∩B⊂E⊂A+B.
Линейное отображение T, действующее из A+B в C+D, называется ограниченным оператором из пары A, B в пару C, D, если его сужение на A (соответственно B) является ограниченным оператором из A (соответственно B) в C (соответственно D). Тройка пространств {A,B,E} называется интерполяционной относительно тройки {C,D,F}, C∩D⊂F⊂C+D, пространство E (соответственно F) – промежуточное для пары A, B (соответственно C, D), если всякий ограниченный оператор из пары A, B в пару C, D отображает E в F. Если A=C, B=D и E=F, то пространство E называется интерполяционным между A и B. Для интерполяционных троек существует константа c, такая, что
∥T∥E→F⩽cmax{∥T∥A→C,∥T∥B→D}.Первая интерполяционная теорема получена М. Риссом (1926): тройка пространств {Lp0,Lp1,Lp} является интерполяционной относительно тройки {Lq0,Lq1,Lq}, если 1⩽p0,p1,q0,q1⩽∞ и при некотором θ∈(0,1)
p1=p01−θ+p1θ,q1=q01−θ+q1θ.Мера, по которой строятся перечисленные пространства, может быть своей для каждой тройки. Аналог этой теоремы может не быть справедливым для других классических семейств пространств; например, пространство C1(0,1) не является интерполяционным между C(0,1) и C2(0,1).
Интерполяционным функтором F называется функтор, ставящий в соответствие каждой банаховой паре A, B промежуточное пространство F(A,B), причём для любых двух банаховых пар A, B и C, D тройки {A,B,F(A,B)} и {C,D,F(C,D)} являются друг относительно друга интерполяционными. Имеется ряд методов построения интерполяционных функторов. Наибольшее число приложений нашли два из них.
K-метод Петре. Для банаховой пары A, B строится функционал
K(t,x)=x=u+vinf{∥u∥A+t∥v∥B},эквивалентный при каждом t норме в A+B. Банахово пространство G измеримых на полуоси функций называется идеальным пространством, если из того, что ∣f(t)∣⩽∣g(t)∣ почти всюду на (0,∞) и g∈G, вытекает f∈G и ∥f∥G⩽∥g∥G. Рассматриваются все элементы x из A+B, для которых K(t,x)∈G. Они образуют банахово пространство (A,B)GK относительно нормы ∥x∥(A,B)GK=∥K(t,x)∥G. Пространство (A,B)GK будет ненулевым и промежуточным для A, B в том и только в том случае, когда функция min{t,1} принадлежит G. В этом случае функтор F(A,B)=(A,B)GK будет интерполяционным. Для некоторых банаховых пар функционал K(t,x) вычисляется, и это позволяет эффективно строить интерполяционные пространства. Для пары L1 и L∞
K(t,x)=∫01x∗(τ)dτ,где x∗(τ) – равноизмеримая с функцией x невозрастающая непрерывная справа функция на (0,∞). Для пары C и C1
K(t,x)=21ω⌢(2t,x),где ω(t,x) – модуль непрерывности функции x, а знак ⌢ означает переход к наименьшей выпуклой мажоранте функции на (0,∞). Для пары Lp(Rn) и Wpl(Rn) (см. статью Пространство Соболева)
K(t,x)={ωl,p(t1/p,x)+t∥x∥p,t<1,∥x∥Lp,t⩾1,где
ωl,p(t,x)=sup∥Δhnx(s)∥Lp,∣h∣⩽l.За пространство G часто принимается пространство с нормой
∥f∥G={∫0∞(t−θ∣f(t)∣qtdt}1/q,0<θ<1,1⩽q⩽∞.Соответствующий функтор обозначается (A,B)θ,pK. Важную роль в теории уравнений с частными производными играют пространства Бесова
Bp,qm=(Lp,Wpl)θ,qK,где m=θl. Ряд классических неравенств анализа уточняется в терминах пространств Лоренца
Lr,q=(L1,L∞)θ,qK,r=1/(1−θ).Комплексный метод Кальдерона – Лионса. Для банаховой пары A, B через Φ(A,B) обозначается пространство, состоящее из всех функций φ(z), определённых в полосе Π:0⩽Re z⩽1 комплексной плоскости, со значениями в пространстве A+B, обладающих свойствами: 1) φ(z) непрерывна и ограничена по норме A+B в Π; 2) φ(z) аналитична относительно нормы в A+B внутри Π; 3) φ(iτ) непрерывна и ограничена по норме A; 4) φ(1+iτ) непрерывна и ограничена по норме B. Пространство [A,B]α, 0⩽α⩽1, определяется как совокупность всех элементов x∈A+B, представимых в виде x=φ(α) при φ∈Φ(A,B). В нём вводится норма
∥x∥[A,B]α=φ(α)=xinf∥φ∥Φ(A,B).Таким образом строится интерполяционный функтор [A,B]α. Если A=Lp0 и B=Lp1, 1⩽p0,p1⩽∞, то [Lp0,Lp1]α=Lp, где 1/p=(1−α)/p0+α/p1. Если G0 и G1 – два идеальных пространства и хотя бы в одном из них норма абсолютно непрерывна, то пространство [G0,G1]α состоит из всех функций x(t), для которых ∣x(t)∣=∣x0(t)∣1−α∣x1(t)∣α при некоторых x0∈G0, x1∈G1. Если для двух комплексных гильбертовых пространств H0 и H1 имеется вложение H1⊂H0, то пространства [H0,H1]∈ образуют важное для приложений семейство пространств, называемое гильбертовой шкалой. Если H0=L2 и H1=W2l, то [H0,H1]α=W2αl (пространство Соболева с дробными индексами). О других методах построения интерполяционных функторов, а также об их связях с теорией шкал банаховых пространств см. в работах: Butzer. 1967, Крейн. 1966, Мадженес. 1966, Bergh. 1976.
Особую роль в теории интерполяционных операторов играет направление, связанное с интерполяционной теоремой Mapцинкевича об операторах слабого типа: оператор T, действующий из банахова пространства A в пространство всех измеримых функций, например на полуоси, называется оператором слабого типа (A,ψ), если (Tx)∗(t)⩽ψ(t)c∥x∥A. При этом предполагается, что функции ψ(t) и t/ψ(t) не убывают [например, ψ(t)=tα, 0⩽α⩽1]. Теоремы типа теоремы Марцинкевича позволяют для операторов T слабых типов (A0,ψ0) и (A1,ψ1) одновременно (A0,A1 – банахова пара) описывать пары пространств A, E, для которых TA⊂E. Во многих случаях достаточно проверить, что из A в E действует оператор
ψ0(t)1K(ψ1(t)ψ0(t),x),где K(t,x) – функционал Петре для пространств A0, A1. Если действие из A в E показано для всех линейных операторов слабых типов (Ai,ψi), то оно будет иметь место и для квазиаддитивных операторов (со свойством ∣T(x+y)(t)∣⩽b(∣Tx(t)∣+∣Ty(t)∣) слабых типов (Ai,ψi), i=0,1. Многие важные операторы анализа (например, сингулярный оператор Гильберта) имеют слабый тип в естественных пространствах и поэтому соответствующие интерполяционные теоремы получили многочисленные применения.
Крейн Селим Григорьевич. Первая публикация: Математическая энциклопедия под ред. И. М. Виноградова, 1979.