Аффи́нное алгебраи́ческое мно́жество (аффинное алгебраическое $k$-множество), множество решений некоторой системы алгебраических уравнений. Пусть $k$ – поле и $\bar{k~}$ – его алгебраическое замыкание. Подмножество $X$ декартова произведения $\bar{k^n}$ называется аффинным алгебраическим $k$-множеством, если его точки являются общими нулями некоторого семейства $S$ элементов кольца многочленов $k[T]= k\left[T_1,~ \ldots,~ T_n\right]\!.$ Множество $\mathfrak{A}_X$ всех многочленов из $k\left[T_1, \ldots,~ T_n\right]$, обращающихся в нуль на $X$, образует идеал, который называется идеалом аффинного алгебраического $k$-множества. Идеал $\mathfrak{A}_X$ совпадает с радикалом идеала $I(S)$, порождённого семейством $S$, т. е. с множеством таких многочленов $f \in k\left[T_1,~ \ldots,~ T_n\right]$, что $f^m \in I(S)$ для некоторого натурального $m$. Аффинные алгебраические множества $X$ и $Y$ совпадают тогда и только тогда, когда $\mathfrak{A}_X=\mathfrak{A}_Y$. Аффинное алгебраическое множество $X$ может быть задано системой образующих идеала $\mathfrak{A}_X$. В частности, всякое аффинное алгебраическое множество может быть задано конечным числом многочленов $\left(f_1,~ \ldots,~ f_k\right) \in k [T]$. Равенства $f_1=\ldots=f_k=0$ называются уравнениями аффинного алгебраического множества $X$. Аффинные алгебраические множества пространства $\bar{k^n}$ образуют решётку относительно операций пересечения и объединения. При этом идеал пересечения $X \cap Y$ совпадает с суммой идеалов $\mathfrak{A}_X+\mathfrak{A}_Y$, а идеал объединения $X \cup Y$ – с пересечением идеалов $\mathfrak{A}_X \cap \mathfrak{A}_Y$. Всё множество $\bar{k^n}$ является аффинным алгебраическим множеством, которое называется аффинным пространством над полем $k$ и обозначается $A_k^n;$ ему соответствует нулевой идеал. Пустое подмножество множества $\bar{k^n}$ тоже есть аффинное алгебраическое множество с единичным идеалом. Факторкольцо $k[X]=k[T] / \mathfrak{A}_X$ называется координатным кольцом аффинного алгебраического множества $X$. Оно отождествляется с кольцом $k$-регулярных функций на $X$, т. е. с кольцом $\bar{k}$-значных функций $f: X \rightarrow \bar{k}$, для которых существует такой многочлен $F \in k[T]$, что $f(x)=F(x)$ для всех $x \in X$. Аффинное алгебраическое множество $X$ называется неприводимым, если оно не является объединением двух собственных аффинных алгебраических подмножеств. Эквивалентное определение состоит в том, что идеал $\mathfrak{A}_X$ должен быть простым. Неприводимые аффинные алгебраические множества вместе с проективными алгебраическими множествами являлись объектами классической алгебраической геометрии. Они называются соответственно аффинными алгебраическими многообразиями и проективными алгебраическими многообразиями над полем $k$ (или $k$-многообразиями). Аффинные алгебраические множества наделяются структурой топологического пространства. Замкнутыми множествами этой топологии (топологии Зариского) являются неприводимые аффинные алгебраические подмножества. Аффинное алгебраическое множество неприводимо тогда и только тогда, когда оно неприводимо как топологическое пространство. Дальнейшее развитие понятия аффинного алгебраического множества приводит к понятиям аффинного многообразия и аффинной схемы.