На главную

Топологическая алгебра

Топологи́ческая а́лгебра, 1) универсальная алгебра, являющаяся топологическим пространством, в котором непрерывны все сигнатурные операции.

2) Алгебра (в смысле «операторное кольцо») над топологическим полем или коммутативным кольцом , являющаяся топологическим пространством, операции сложения и умножения в котором, а также отображение , непрерывны. Пример топологической алгебры над полем комплексных чисел – банаховы алгебры.

3) Раздел алгебры, который занимается изучением топологических алгебраических систем, т. е. групп, полугрупп, колец, решёток, векторных пространств, модулей и др., наделённых топологиями, в которых рассматриваемые алгебраические операции непрерывны.

Понятие топологической группы возникло в связи с рассмотрением групп непрерывных преобразований. Так, во 2-й половине 19 в. С. Ли и его школа создали развитую теорию важного класса топологических групп – групп дифференцируемых преобразований многообразий в себя, получивших впоследствии название групп Ли. Изучение общих топологических групп началось в 1920-х гг. (Schreier. 1926[1]; Schreier. 1925[2]; Lеja. 1927[3]). С начала 30-х гг. топологические группы, кольца и поля подверглись уже систематическому изучению.

А. Н. Колмогоровым (Kolmogoroff. 1932[4]) был развит аксиоматический подход к исследованию топологических проективных геометрий. Их классификация существенно зависела от описания локально компактных тел. Полное описание связных локально компактных тел было дано в 1932 г. Л. С. Понтрягиным (см. Понтрягин. 2004.[5] Гл. 4).

Многочисленные проблемы анализа привели к общему определению банахова пространства (см. также Бурбаки. 1959[6]), что создало предпосылку для систематического изучения топологических модулей над топологическими кольцами и банаховых алгебр (см. Гельфанд. 1960[7]; Наймарк. 1968[8]).

Основными разделами топологической алгебры являются: топологические группы и их обобщения (в частности, топологические полугруппы и квазигруппы), топологические кольца (в частности, топологические поля и тела) и топологические модули над ними (в частности, топологические векторные пространства), топологические решётки (в частности, топологические проективные плоскости), топологические универсальные алгебры (см. Скорняков. 1954[9]; Бурбаки. 1959[10]; Мальцев. 1976[11]; Арнаутов. 1981[12]; Arhangel’skii. 2008[13]).

В топологической алгебре можно выделить следующие направления исследований: существование топологий в алгебраических системах (группах, кольцах и др.), превращающих их в топологические алгебраические системы с различными свойствами; вопросы продолжения топологий на расширения алгебраических систем и возможности вложения в топологические алгебраические системы определённых классов; свойства топологии топологических алгебраических систем, в частности возможность задания топологий метрикой или нормой; строение различных классов топологических алгебраических систем (включая теорию радикалов топологических алгебраических систем); свободные топологические алгебраические системы; вопросы двойственности топологических алгебраических систем.

Примечания

  1. ↑ Schreier O. Über die Erweiterung von Gruppen I / O. Schreier // Monatshefte für Mathematik. – 1926. – Bd. 34, № 1. – S. 165–180.
  2. ↑ Schreier O. Über die Erweiterung von Gruppen II / O. Schreier // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. – 1925. – Vol. 4, № 1. – S. 321–346.
  3. ↑ Lеja F. Sur la notion du groupe abstrait topologique / F. Lеja // Fundamenta mathematicae. – 1927. – Vol. 9. – P. 37–44.
  4. ↑ Kolmogoroff A. Zur Begrundung der Projektiven Geometrie / A. Kolmogoroff // Annals of Mathematics. – 1932. – Vol. 33, № 1. – P. 175–176.
  5. ↑ Понтрягин Л. С. Непрерывные группы / Л. С. Понтрягин. – Изд. 5-е, стер. – Москва : Едиториал УРСС, 2004.
  6. ↑ Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки ; пер. с фр. Д. А. Райкова. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1959. – (Элементы математики).
  7. ↑ Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца / И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов. – Москва : Физматгиз, 1960. – (Современные проблемы математики).
  8. ↑ Наймарк М. А. Нормированные кольца / М. А. Наймарк. – 2-е изд., перераб. – Москва : Наука, 1968.
  9. ↑ Скорняков Л. А. Топологические проективные плоскости / Л. А. Скорняков // Труды Московского математического общества. – 1954. – Т. 3. – С. 347–73.
  10. ↑ Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / Н. Бурбаки ; пер. с фр. Д. А. Райкова. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1959. – (Элементы математики).
  11. ↑ Мальцев А. И. Избранные труды / А. И. Мальцев ; редкол.: М. А. Лаврентьев - гл. ред. [и др.]. – Москва : Наука, 1976.
  12. ↑ Арнаутов В.И. Введение в теорию топологических колец и модулей / В. И. Арнаутов, М. И. Водинчар, А. В. Михалев ; отв. ред. Л. А. Скорняков. – Кишинев : Штиинца, 1981.
  13. ↑ Arhangel’skii A. Topological Groups and Related Structures / A. Arhangel’skii, M. Tkachenko. – Amsterdam ; Paris : Atlantis Press, 2008. – (Atlantis studies in mathematics ; vol.1).

Литература

  • Schreier O. Über die Erweiterung von Gruppen II // Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. – 1925. – Bd. 4, № 1. – S. 321–346.
  • Schreier O. Über die Erweiterung von Gruppen I // Monatshefte für Mathematik. – 1926. – Bd. 34, № 1. – S. 165–180.
  • Lеja F. Sur la notion du groupe abstrait topologique // Fundamenta mathematicae. – 1927. – Vol. 9. – P. 37–44.
  • Kolmogoroff A. Zur Begrundung der Projektiven Geometrie // Annals of Mathematics. – 1932. – Vol. 33, № 1. – P. 175–176.
  • Скорняков Л. А. Топологические проективные плоскости // Труды Московского математического общества. – 1954. – Т. 3. – С. 347–73.
  • Глушков В. М. Строение локально бикомпактных групп и пятая проблема Гильберта // Успехи математических наук. – 1957. – Т. 12, № 2. – С. 3–41.
  • Бурбаки Н. Топологические векторные пространства / пер. с фр. Д. А. Райкова. – Москва : Издательство иностранной литературы, 1959. – (Элементы математики).
  • Гельфанд И. М. Коммутативные нормированные кольца / И. М. Гельфанд, Д. А. Райков, Г. Е. Шилов. – Москва : Физматгиз, 1960. – (Современные проблемы математики).
  • Наймарк М. А. Нормированные кольца. – 2-е изд., перераб. – Москва : Наука, 1968.
  • Мальцев А. И. Избранные труды. – Москва : Наука, 1976. – 2 т.
  • Арнаутов В.И. Введение в теорию топологических колец и модулей / В. И. Арнаутов, М. И. Водинчар, А. В. Михалев. – Кишинев : Штиинца, 1981.
  • Понтрягин Л. С. Непрерывные группы. – Изд. 5-е, стер. – Москва : Едиториал УРСС, 2004.
  • Arhangel’skii A. Topological Groups and Related Structures / A. Arhangel’skii, M. Tkachenko. – Amsterdam ; Paris : Atlantis Press, 2008. – (Atlantis studies in mathematics ; vol.1).