Топологический модуль

Топологи́ческий мо́дуль (левый), абелева топологическая группа ${\displaystyle A}$, являющаяся модулем над топологическим кольцом ${\displaystyle R}$, при этом требуется, чтобы отображение умножения ${\displaystyle R\times A\to A}$, переводящее ${\displaystyle (r,a)}$ в ${\displaystyle ra}$, было непрерывно. Аналогичным образом определяются правые топологические модули. Любой подмодуль ${\displaystyle B}$ топологического модуля ${\displaystyle A}$ сам является топологическим модулем. Если модуль ${\displaystyle A}$ отделим и ${\displaystyle B}$ замкнут в ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle A/B}$ – отделимый модуль. Прямое произведение топологических модулей является топологическим модулем. Пополнение ${\displaystyle {\widehat {A}}}$ модуля ${\displaystyle A}$ как абелевой топологической группы можно наделить естественной структурой топологического модуля над пополнением ${\displaystyle {\widehat {R}}}$ кольца ${\displaystyle R}$.

Топологическим ${\displaystyle G}$-модулем, где ${\displaystyle G}$ – некоторая топологическая группа, называется топологическая абелева группа ${\displaystyle A}$, являющаяся ${\displaystyle G}$-модулем, причём требуется, чтобы отображение умножения ${\displaystyle G\times A\to A}$ было непрерывно.