Кольцо в математике

Кольцо́ в матема́тике, множество ${\displaystyle R}$, в котором заданы две бинарные алгебраические операции: сложение и умножение, причём по сложению это множество – абелева группа (аддитивная группа кольца ${\displaystyle R}$), а умножение связано со сложением законами дистрибутивности:

${\displaystyle a(b+c)=ab+ac,\quad (b+c)a=ba+ca}$,

где ${\displaystyle a,b,c\in R}$. На умножение в общем случае не накладывается никаких ограничений, т. е. ${\displaystyle R}$ по умножению – группоид (называемый мультипликативным группоидом кольца ${\displaystyle R}$).

Непустое подмножество ${\displaystyle A\subset R}$ называется подкольцом в ${\displaystyle R}$, если ${\displaystyle A}$ само является кольцом относительно операций, определённых в ${\displaystyle R}$, т. е. ${\displaystyle A}$ должно быть подгруппой аддитивной группы кольца ${\displaystyle R}$ и подгруппоидом мультипликативного группоида этого кольца. Естественно, подкольцами всякого кольца служат само это кольцо и нуль-подкольцо, состоящее из одного нуля. Пересечение (теоретико-множественное) подколец любого кольца есть подкольцо. Объединением подколец ${\displaystyle A_{\alpha }}$, ${\displaystyle \alpha \in I}$, кольца ${\displaystyle R}$ называется пересечение всех подколец, каждое из которых содержит все ${\displaystyle A_{\alpha }}$. Множество всех подколец данного кольца является решёткой ${\displaystyle S(R)}$ относительно операций пересечения и объединения подколец. Множество идеалов этого кольца образует подрешётку в ${\displaystyle S(R)}$.

О направлениях в теории колец см. Ассоциативные кольца и алгебры.