Группа преобразований

Гру́ппа преобразова́ний (группа подстановок), группа преобразований некоторого множества, рассматриваемая вместе с этим множеством. Точнее, группа преобразований есть пара ${\displaystyle (G,X)}$, где ${\displaystyle G}$ – группа, ${\displaystyle X}$ – множество, для которой задана операция ${\displaystyle (g,x)\mapsto gx}$, сопоставляющая элементам ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle x\in X}$ элемент ${\displaystyle gx\in X}$ и удовлетворяющая условиям

${\displaystyle 1)\,\,g(hx)=(gh)x,\,\,g,h\in G,\,\,x\in X,}$
${\displaystyle 2)\,\,ex=x,\,x\in X,\,e\,-{\text{ единица}}\,G.}$

Если задана группа преобразований${\displaystyle (G,X)}$, то каждый элемент ${\displaystyle g\in G}$ определяет инъективное преобразование (отображение) ${\displaystyle t_{g}:x\mapsto gx}$ множества ${\displaystyle X}$, причём соответствие ${\displaystyle t:g\mapsto t_{g}}$ есть гомоморфизм группы ${\displaystyle G}$ в симметрическую группу ${\displaystyle S(X)}$ всех биективных преобразований множества ${\displaystyle X}$. Обратно, всякий гомоморфизм ${\displaystyle G}$ в ${\displaystyle S(X)}$ задаёт некоторую группу преобразований ${\displaystyle (G,X)}$.

Наряду с абстрактными группами преобразований рассматриваются топологические группы преобразований [при этом предполагается, что ${\displaystyle G}$ – топологическая группа, ${\displaystyle X}$ – топологическое пространство и отображение ${\displaystyle (g,x)\mapsto gx}$ непрерывно]. Аналогично определяются группы Ли преобразований и алгебраические группы преобразований.

Группы преобразований играют важную роль во многих разделах математики и в её приложениях. На первом этапе развития теории групп, связанном с теорией Галуа, изучались группы подстановок, т. е. группы преобразований конечных множеств. Теория групп Ли также начиналась как теория групп преобразований. При изучении дифференциальных уравнений, некоторых физических систем и т. п. возникают группы преобразований – группы симметрий. Наличие достаточно богатой группы симметрий позволяет, например, построить явные решения некоторых дифференциальных уравнений. Особенно важна роль группы преобразований в геометрии. Уже в евклидовой планиметрии возникают такие группы преобразований, как группа всех движений плоскости, группа параллельных переносов, группа поворотов вокруг заданной точки. С каждой фигурой на плоскости связана группа её симметрий, т. е. группа движений, переводящих эту фигуру в себя. Произвольная абстрактная группа ${\displaystyle G}$ превращается в группу преобразований на том же множестве ${\displaystyle G}$, если в качестве ${\displaystyle t_{g}}$ взять левый сдвиг ${\displaystyle x\mapsto gx}$.