Решётка (в математике)

Решётка в группе Ли, дискретная подгруппа ${\displaystyle \mathrm {\Gamma } }$ группы Ли ${\displaystyle G}$ такая, что ${\displaystyle G/\Gamma }$ имеет конечный объём относительно ${\displaystyle G}$-инвариантной меры.

Решётка размерности (или ранга) ${\displaystyle n}$ в векторном пространстве ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или ${\displaystyle \mathbb {C} }$ – свободная абелева подгруппа в ${\displaystyle V}$, порождённая ${\displaystyle n}$ векторами, линейно независимыми над полем ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Подгруппа аддитивной группы конечномерного векторного пространства ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ дискретна тогда и только тогда, когда она является решёткой (^[1]).

Решётка, структура – частично упорядоченное множество, в котором каждое двухэлементное подмножество имеет как точную верхнюю, так и точную нижнюю грани. Отсюда вытекает существование этих граней для всякого непустого конечного подмножества.

Примеры.

1. Линейно упорядоченное множество ${\displaystyle M}$ (или цепь), где для ${\displaystyle a,b\in M}$, если ${\displaystyle a\leqslant b}$, то

${\displaystyle \sup\{a,b\}=b,\quad \inf\{a,b\}=a}$.

2. Подпространства векторного пространства, упорядоченные по включению, где

${\displaystyle {\begin{array}{c}\sup\{A,B\}=\{x\mid x=a+b,a\in A,b\in B\},\\\inf\{A,B\}=A\cap A.\end{array}}}$

3. Подмножества данного множества, упорядоченные по включению, где

${\displaystyle {\begin{aligned}\sup\{A,B\}&=A\cup B\\\inf\{A,B\}&=A\cap B.\end{aligned}}}$

4. Неотрицательные целые числа, упорядоченные по делимости: ${\displaystyle a\leqslant b}$, если ${\displaystyle b=ac}$ для некоторого ${\displaystyle c}$, где ${\displaystyle \sup\{a,b\}}$ – наименьшее общее кратное ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$, a ${\displaystyle \inf\{a,b\}}$ – наибольший общий делитель ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$.

5. Действительные функции, определённые на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ и упорядоченные условием: ${\displaystyle f\leqslant g}$, если ${\displaystyle (t)\leqslant g(t)}$ для всех ${\displaystyle t\in [0,1]}$, где

${\displaystyle \sup\{f,g\}=u}$,

причём

${\displaystyle u(t)=\max\{f(t),g(t)\}}$,

а

${\displaystyle \inf\{f,g\}=v}$,

причём

${\displaystyle v(t)\;=\min\{f(t),g(t)\}}$.

Пусть ${\displaystyle M}$ – решётка. ${\displaystyle M}$ становится универсальной алгеброй с двумя бинарными операциями, если определить

${\displaystyle {\begin{array}{cl}a+b&=\sup\{a,b\},\\a\cdot b&=\inf \,\{a,b\}\end{array}}}$

(вместо «${\displaystyle +}$» и «${\displaystyle \cdot }$» часто употребляются символы ${\displaystyle \cup }$ и ${\displaystyle \cap }$ или ${\displaystyle \vee }$ и ${\displaystyle \wedge }$). Эта универсальная алгебра удовлетворяет следующим тождественным соотношениям:

${\displaystyle {\begin{array}{ll}(1)\quad a+a\;=\;a;&(1^{\prime })\quad a\cdot a\;=\;a;\\(2)\quad a+b\;=\;b+a;&(2^{\prime })\quad a\cdot b\;=\;b\cdot a;\\(3)\quad (a+b)+c\;=\;a+(b+c);&(3^{\prime })\quad (a\cdot b)\cdot c\;=\;a\cdot (b\cdot c);\\(4)\quad a\,(a+b)\;=\;a;&(4^{\prime })\quad a+a\cdot b\;=\;a.\end{array}}}$

Наоборот, если ${\displaystyle M}$ – множество с двумя бинарными операциями, обладающими перечисленными выше свойствами ${\displaystyle (1)}$–${\displaystyle (4)}$, ${\displaystyle \left(1^{\prime }\right)}$–${\displaystyle \left(4^{\prime }\right)}$, то на ${\displaystyle M}$ можно задать порядок ${\displaystyle \leqslant }$, полагая ${\displaystyle a\leqslant b}$, если ${\displaystyle a+b=b}$ (при этом окажется, что ${\displaystyle a\leqslant b}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle a\cdot b=a}$). Возникающее частично упорядоченное множество будет решёткой, причём

${\displaystyle \sup\{a,b\}=a+b,\quad {\textsf {\text{а}}}\quad \inf\{a,b\}=a\cdot b}$.

Таким образом, решётку можно определить как универсальную алгебру, описываемую тождествами ${\displaystyle (1)}$–${\displaystyle (4)}$, ${\displaystyle \left(1^{\prime }\right)}$–${\displaystyle \left(4^{\prime }\right)}$, т. е. решётка образует многообразие универсальных алгебр.

Если частично упорядоченное множество рассматривать как малую категорию, то оно оказывается решёткой в том и только в том случае, когда для любых двух объектов этой категории существует их произведение и копроизведение.

Если ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle P^{\prime }}$ – решётки и ${\displaystyle f}$ – изоморфизм этих частично упорядоченных множеств, то ${\displaystyle f}$ является также изоморфизмом соответствующих универсальных алгебр, т. е.

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\quad {\textsf {\text{и}}}\quad f(xy)=f(x)\cdot f(y)}$

для любых ${\displaystyle x,y\in P}$. Однако произвольное изотонное отображение решётки ${\displaystyle P}$ в решётку ${\displaystyle P^{\prime }}$ не обязано быть гомоморфизмом этих решёток, рассматриваемых как универсальные алгебры. Так, для любого ${\displaystyle a\in P}$ отображения ${\displaystyle f(x)=x+a}$ и ${\displaystyle g(x)=x\cdot a}$ – изотонные отображения решётки ${\displaystyle P}$ в себя, являющиеся гомоморфизмами лишь в том и только в том случае, когда ${\displaystyle P}$ – дистрибутивная решётка. Впрочем, первое из этих отображений является гомоморфизмом полурешётки ${\displaystyle {\text{Р}}}$ с операцией «${\displaystyle +}$», а второе – гомоморфизмом полурешётки ${\displaystyle P}$ с операцией «${\displaystyle \cdot }$». Совокупность всех решёток образует категорию, если морфизмами считать гомоморфизмы.

Антигомоморфизм решётки ${\displaystyle P}$ в решётку ${\displaystyle P^{\prime }}$ есть такое отображение ${\displaystyle f\colon P\rightarrow P^{\prime }}$, что

${\displaystyle f(x+y)=f(x)\cdot f(y)\quad {\textsf {\text{и}}}\quad f(x\cdot y)=f(x)+f(y)}$

для любых ${\displaystyle x,y\in P}$. Последовательное выполнение двух антигомоморфизмов является гомоморфизмом. Частично упорядоченное множество, антиизоморфное решётке, есть решётка.

Под координатизацией решётки понимают нахождение алгебраической системы (чаще – универсальной алгебры) такой, что данная решётка изоморфна решётке подсистем, решётке конгруэнций или какой-либо другой решётке, связанной с этой алгебраической системой или универсальной алгеброй. Произвольная решётка с ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 1}$ координатизируется частично упорядоченной полугруппой её резидуальных отображений в себя, оказываясь изоморфной решётке правых аннуляторов этой полугруппы. Сама полугруппа является бэровской, т. е. как правый, так и левый аннулятор каждого из её элементов порождается идемпотентом.

Наиболее важные результаты получены для решёток, подчинённых тем или иным дополнительным ограничениям (см. Алгебраическая решётка, Атомная решётка, Решётка Брауэра, Векторная решётка, Дедекиндова решётка, Дистрибутивная решётка, Мультипликативная решётка, Ортомодулярная решётка, Полная решётка, Свободная решётка, Решётка с дополнениями, Булева алгебра; по отдельным вопросам теории решётки см. Идеал, Фильтр, Пополнение сечениями). Особую роль играют алгебраические образования, являющиеся в то же время решёткой (см. Структурно упорядоченная группа). Наибольшее число приложений теории решёток связано с булевыми алгебрами. Другие классы решёток использовались в квантовой механике и физике.

Появление понятия «решётка» относится к середине 19 в. и связано с тем, что многие факты, касающиеся множества идеалов кольца и множества нормальных подгрупп группы, выглядят аналогично и могут быть доказаны в рамках теории дедекиндовых решёток. Как самостоятельное направление алгебры теория решёток сформировалась в 30-х годах 20 в.