Операторное кольцо

Опера́торное кольцо́ (кольцо с областью операторов ${\displaystyle \Sigma }$), кольцо, в котором определено умножение элементов кольца на элементы из некоторого фиксированного множества ${\displaystyle \Sigma }$ (внешний закон композиции), удовлетворяющее следующим аксиомам:

${\displaystyle (a+b)\alpha =a\alpha +b\alpha ,}$ (1)

${\displaystyle (ab)\alpha =(a\alpha )b=a(b\alpha ),}$ (2)

где ${\displaystyle \alpha }$ – элемент множества ${\displaystyle \Sigma }$, а ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle a\alpha }$, ${\displaystyle b\alpha }$ – элементы кольца. Операторы, таким образом, действуют как эндоморфизмы аддитивной группы, перестановочные с умножением на элемент кольца. Кольцо с областью операторов ${\displaystyle \Sigma }$, или, короче, ${\displaystyle \Sigma }$-операторное кольцо, можно трактовать и как универсальную алгебру с двумя бинарными операциями (сложением и умножением) и множеством ${\displaystyle \Sigma }$ унарных операций, связанных обычными кольцевыми тождествами, а также тождествами ${\displaystyle (1)}$ и ${\displaystyle (2)}$. Понятия ${\displaystyle \Sigma }$-допустимого подкольца, ${\displaystyle \Sigma }$-допустимого идеала, ${\displaystyle \Sigma }$-операторного изоморфизма и ${\displaystyle \Sigma }$-операторного гомоморфизма могут быть определены подобно тому, как это делается для операторных групп. Если ${\displaystyle \Sigma }$-операторное кольцо ${\displaystyle R}$ обладает единицей, то все идеалы и все односторонние идеалы кольца ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \Sigma }$-допустимы.

Кольцо ${\displaystyle R}$ называется кольцом с кольцом операторов ${\displaystyle \Sigma }$, если оно есть ${\displaystyle \Sigma }$-операторное кольцо, область операторов ${\displaystyle \Sigma }$ которого сама является ассоциативным кольцом, причём для любых ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Sigma }$ и ${\displaystyle a\in R}$ справедливы равенства

${\displaystyle a(\alpha +\beta )\ =a\alpha +a\beta ,}$

${\displaystyle a(\alpha \beta )=(a\alpha )\beta }$.

Кольцо с кольцом операторов можно определить так же, как кольцо, являющееся одновременно ${\displaystyle \Sigma }$-модулем и удовлетворяющее аксиоме ${\displaystyle (2)}$. Всякое кольцо можно естественным образом считать операторным над кольцом целых чисел.

Для всех ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ из ${\displaystyle \Sigma }$ элемент ${\displaystyle a(\alpha \beta -\beta \alpha )}$ является аннулятором кольца ${\displaystyle R}$. Поэтому если ${\displaystyle R}$ – кольцо без аннуляторов, то его кольцо операторов ${\displaystyle \Sigma }$ непременно коммутативно.

Наиболее часто рассматриваются кольца с ассоциативно-коммутативным кольцом операторов, обладающим единицей. Такое операторное кольцо называется обычно алгеброй над коммутативным кольцом, а также линейной алгеброй. Наиболее изучены линейные алгебры над полями, их теория развивается параллельно общей теории колец (без операторов).