Топологическое поле

Топологи́ческое по́ле, топологическое кольцо ${\displaystyle K}$, являющееся полем, причём дополнительно требуется, чтобы отображение ${\displaystyle a\to a^{-1}}$ было непрерывно на ${\displaystyle K\backslash \{0\}}$. Любое подполе ${\displaystyle P}$ топологического поля ${\displaystyle K}$ и замыкание ${\displaystyle {\overline {P}}}$ поля ${\displaystyle P}$ в ${\displaystyle K}$ снова являются топологическими полями.

Связные локально компактные топологические поля исчерпываются полями ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (см. Локально компактное тело). Каждое нормированное поле является топологическим полем относительно топологии, порождаемой нормой (см. Нормирование, Абсолютное значение). Если существуют два вещественных нормирования ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ поля ${\displaystyle P}$, каждое из которых превращает ${\displaystyle P}$ в полное топологическое поле, и топологии ${\displaystyle \tau _{u}}$ и ${\displaystyle \tau _{v}}$, порождаемые ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$, различны, то поле ${\displaystyle P}$ алгебраически замкнуто. Поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$ – единственное вещественно нормированное расширение поля ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

На каждом поле бесконечной мощности ${\displaystyle \tau }$ существует ровно ${\displaystyle 2^{2\displaystyle {^{\tau }}}}$ различных топологий, превращающих его в топологическое поле. Топология топологических полей либо антидискретна, либо вполне регулярна. Построены топологическое поле, топология которого не нормальна, и топологическое поле, топология которого нормальна, но не наследственно нормальна. Топологическое поле либо связно, либо вполне несвязно. Существует связное топологическое поле любой конечной характеристики. Неизвестно, можно ли каждое топологическое поле вложить в связное топологическое поле в качестве подполя. В отличие от топологических колец и линейных топологических пространств, не каждое вполне регулярное топологическое пространство можно вложить в качестве подпространства в топологическое поле. Так, например, псевдокомпактное (в частности, компактное) подпространство топологического поля всегда метризуемо. Однако каждое вполне регулярное пространство, допускающее взаимно однозначное непрерывное отображение на метрическое пространство, вкладывается в некоторое топологическое поле в качестве подпространства. Если в топологическом поле ${\displaystyle P}$ есть хоть одно счётное незамкнутое множество, то существует более слабая метризуемая топология на поле ${\displaystyle P}$, превращающая его в топологическое поле.

Для топологического поля ${\displaystyle K}$ определено его пополнение ${\displaystyle {\widetilde {K}}}$ – полное топологическое кольцо, в которое ${\displaystyle K}$ вкладывается как всюду плотное подполе. Кольцо ${\displaystyle {\widetilde {K}}}$ может иметь делители нуля. Однако пополнение всякого вещественно нормированного топологического поля есть вещественно нормированное топологическое поле.