Топологическое кольцо

Топологи́ческое кольцо́, кольцо ${\displaystyle R}$, являющееся топологическим пространством, причём требуется, чтобы отображения

${\displaystyle (x,y)\rightarrow x-y\ {\text{ и }}\ (x,y)\rightarrow xy}$

были непрерывны. Топологическое кольцо ${\displaystyle R}$ называется отделимым, если оно отделимо как топологическое пространство. В этом случае пространство ${\displaystyle R}$ хаусдорфово. Любое подкольцо ${\displaystyle M}$ топологического кольца ${\displaystyle R}$, а также факторкольцо ${\displaystyle R/J}$ по идеалу ${\displaystyle J}$ являются топологическими кольцами. Если ${\displaystyle R}$ отделимо и идеал ${\displaystyle J}$ замкнут, то ${\displaystyle R/J}$ – отделимое топологическое кольцо. Замыкание ${\displaystyle {\overline {M}}}$ подкольца ${\displaystyle M}$ в ${\displaystyle R}$ также является топологическим кольцом. Прямое произведение топологических колец – топологическое кольцо.

Гомоморфизм топологических колец – это гомоморфизм колец, являющийся непрерывным отображением. Если ${\displaystyle f:R_{1}\rightarrow R_{2}}$ – такой гомоморфизм, причём ${\displaystyle f}$ – эпиморфизм и открытое отображение, то ${\displaystyle R_{2}}$, как топологическое кольцо, изоморфно кольцу ${\displaystyle R_{1}/\operatorname {Ker} f}$. Примеры топологических колец доставляют банаховы алгебры. Важный тип топологических колец определяется тем условием, что в качестве фундаментальной системы окрестностей нуля можно выбрать некоторое множество идеалов. Например, с любым идеалом ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ связана ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$-адическая топология, в которой множества ${\displaystyle {\mathfrak {m}}^{n}}$ для всех натуральных ${\displaystyle n}$ образуют фундаментальную систему окрестностей нуля. Эта топология отделима, если выполнено условие

${\displaystyle \bigcap _{n}{\mathfrak {m}}^{n}=0}$.

Для топологического кольца ${\displaystyle R}$ определено его пополнение ${\displaystyle {\widehat {R}}}$, являющееся полным топологическим кольцом, причём отделимое кольцо ${\displaystyle R}$ вкладывается в ${\displaystyle {\widehat {R}}}$, которое тоже отделимо, как всюду плотное подмножество. Аддитивная группа кольца ${\displaystyle {\widehat {R}}}$ совпадает c пополнением аддитивной группы кольца ${\displaystyle R}$ как абелевой топологической группы.