Модуль в математике

Мо́дуль (от лат. modulus – база, образец, мера) в математике, обобщение понятия длины.

1. Модуль (или абсолютная величина) действительного числа ${\displaystyle a}$ – неотрицательная величина, обозначаемая ${\displaystyle |a|}$, равная ${\displaystyle a}$, если ${\displaystyle a>0}$, и ${\displaystyle -a}$, если ${\displaystyle a<0}$.
2. Модуль комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy}$ есть число ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ (корень берётся со знаком плюс). При представлении комплексного числа ${\displaystyle z}$ в тригонометрической форме ${\displaystyle z=r(\cos \phi +i\sin \phi )}$ действительное число ${\displaystyle r}$ равно модулю числа ${\displaystyle z}$. Модуль допускает следующее геометрическое истолкование: комплексное число ${\displaystyle z=x+iy}$ можно изобразить вектором, исходящим из начала прямоугольной системы координат и имеющим конец в точке с координатами ${\displaystyle (x,y)}$; длина этого вектора и есть модуль комплексного числа ${\displaystyle z}$.
3. Модуль вектора ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве, величина
   ${\displaystyle |x|={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...x_{n}^{2}}}}$

   (корень берётся со знаком плюс).

Обобщением понятия модуля является понятие нормы.

О модуле перехода от одной системы логарифмов к другой см. в ст. Логарифм. О модуле непрерывности функции см. Модуль непрерывности.