Алгебраическая система

Алгебраической системой называется объект ${\displaystyle {\text{A}}=\langle A,O,R\rangle }$, состоящий из непустого множества ${\displaystyle A}$, семейства ${\displaystyle O}$ алгебраических операций ${\displaystyle o_{i}:A^{n_{i}}\to A(i\in I)}$ и семейства ${\displaystyle R}$ отношений ${\displaystyle r_{j}\subseteq A^{m_{j}}(j\in J)}$, заданных на множестве ${\displaystyle A}$. Показатели ${\displaystyle n_{i}}$, ${\displaystyle m_{j}}$ рассматриваемых декартовых степеней множества ${\displaystyle A}$ предполагаются целыми неотрицательными числами и называются арностями соответствующих операций и отношений. Множество ${\displaystyle A}$ называется носителем, или основным множеством, алгебраической системы ${\displaystyle {\text{A}}}$, а его элементы – элементами этой системы. Мощность ${\displaystyle |A|}$ множества ${\displaystyle A}$ называется мощностью, или порядком, алгебраической системы ${\displaystyle {\text{A}}}$. Образ ${\displaystyle o_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}})}$ элемента${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n_{i}})\in A^{n_{i}}}$ при отображении ${\displaystyle o_{i}:A^{n_{i}}\to A}$ называется значением операции ${\displaystyle o_{i}}$ в точке ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{n_{i}})}$. Аналогично, если ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{m_{j}})\in r_{j}}$, то говорят, что элементы ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m_{j}}}$ из ${\displaystyle A}$ находятся в отношении ${\displaystyle r_{j}}$, и пишут ${\displaystyle r_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})}$.

Операции ${\displaystyle o_{i}\,\,(i\in I)}$ и отношения ${\displaystyle r_{j}\,\,(j\in J)}$, в отличие от других операций и отношений, которые могут быть определены на множестве ${\displaystyle A}$, называются основными, или главными.

Пара семейств ${\displaystyle \langle \{n_{i}:i\in I\};\{m_{j}:j\in J\}\rangle }$ называется типом алгебраической системы ${\displaystyle {\text{A}}}$. Две алгебраических системы ${\displaystyle {\text{A}}}$, ${\displaystyle {\text{A}}'}$ однотипны, если ${\displaystyle I=I'}$, ${\displaystyle J=J'}$ и ${\displaystyle n_{i}=n_{i}'}$, ${\displaystyle m_{j}=m_{j}'}$ для всех ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle j\in J}$. Основные операции ${\displaystyle o_{i}}$, ${\displaystyle o_{i}'}$ и основные отношения ${\displaystyle r_{j}}$, ${\displaystyle r_{j}'}$ однотипных алгебраических систем ${\displaystyle {\text{A}}}$, ${\displaystyle {\text{A}}'}$, имеющих одинаковые индексы в ${\displaystyle I}$, ${\displaystyle J}$ соответственно, называются одноименными.

Алгебраическая система ${\displaystyle {\text{A}}}$ называется конечной, если множество ${\displaystyle A}$ конечно, и конечного типа, если множество ${\displaystyle I\cup J}$ конечно. Алгебраическую систему ${\displaystyle {\text{A}}}$ конечного типа записывают в виде ${\displaystyle {\text{A}}=\langle A;o_{1},\dots ,o_{s},r_{1},\dots ,r_{t}\rangle }$.

Алгебраическая система ${\displaystyle {\text{A}}=\langle A,O,R\rangle }$ называется универсальной алгеброй, или алгеброй, если множество R основных отношений её является пустым, и моделью, или реляционной системой, если множество ${\displaystyle O}$ основных операций её пустое. Классическими алгебраическими системами являются группы, кольца, линейные пространства, линейные алгебры, линейно упорядоченные множества, линейно упорядоченные группы, линейно упорядоченные кольца, решётки и т. д.

Непустое подмножество ${\displaystyle B}$ основного множества ${\displaystyle A}$ алгебраической системы ${\displaystyle {\text{A}}=\langle A,O,R\rangle }$ называется замкнутым, если для любых элементов ${\displaystyle b_{1},\dots b_{n_{i}}}$ из ${\displaystyle B}$ значение ${\displaystyle o_{i}(b_{1},\dots b_{n_{i}})}$ каждой основной операции ${\displaystyle o_{i}\in O}$ также принадлежит множеству ${\displaystyle B}$. Рассматривая операции из ${\displaystyle O}$ и отношения из ${\displaystyle R}$ на замкнутом подмножестве ${\displaystyle B}$, мы получим алгебраическую систему ${\displaystyle {\text{B}}=\langle B,O',R'\rangle }$, однотипную данной и называемую подсистемой алгебраической системы ${\displaystyle {\text{A}}}$. Подсистемы алгебр называются подалгебрами, а подсистемы моделей – подмоделями. Понятие подалгебры существенно зависит от множества основных операций рассматриваемой алгебры. Например, группоид ${\displaystyle G}$ есть алгебра типа ${\displaystyle \langle 2\rangle }$, т. е. алгебра с одной основной операцией ${\displaystyle G\times G\to G}$.

Группоид ${\displaystyle H}$ с выделенной единицей ${\displaystyle e}$ есть алгебра типа ${\displaystyle \langle 2,0\rangle }$, выделенный элемент которой обладает по отношению к основной операции ${\displaystyle o:H\times H\to H}$ свойством ${\displaystyle o(e,h)=o(h,e)=h}$ для всех ${\displaystyle h\in H}$. Поэтому всякий подгруппоид группоида ${\displaystyle H}$ с выделенной единицей ${\displaystyle e}$ содержит ${\displaystyle e}$, тогда как подгруппоид группоида ${\displaystyle \langle H,o\rangle }$ не обязан содержать элемент ${\displaystyle e}$. В отличие от алгебр любое непустое подмножество модели может рассматриваться как подмодель.

Алгебраическая система ${\displaystyle {\text{A}}}$ изоморфна однотипной алгебраической системе ${\displaystyle {\text{A}}'}$, если существует такое взаимно однозначное отображение ${\displaystyle \varphi }$ множества ${\displaystyle A}$ на множество ${\displaystyle A'}$, что

${\displaystyle \varphi (o_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}}))=o_{i}'(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{n_{i}})),}$ (1)

${\displaystyle r_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})\Leftrightarrow r_{j}'(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{m_{j}}))}$ (2)

для всех ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ из ${\displaystyle A}$ и для всех ${\displaystyle i\in I}$, ${\displaystyle j\in J}$. Отображение ${\displaystyle \varphi }$ с этими свойствами называется изоморфизмом.

Под классом алгебраических систем понимается в дальнейшем только абстрактный класс, т. е. такой класс однотипных алгебраических систем, который содержит с каждой системой ${\displaystyle {\text{A}}}$ и все изоморфные ей системы. При рассмотрении того или иного класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ алгебраических систем все системы из этого класса записывают обычно в определенной сигнатуре следующим образом. Пусть класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ имеет тип ${\displaystyle \langle \{n_{i}:i\in I\},\{m_{j}:j\in J\}\rangle }$. Каждому ${\displaystyle i\in I}$ сопоставляют некоторый символ ${\displaystyle F_{i}}$, называемый функциональным, а каждому ${\displaystyle j\in J}$ – символ ${\displaystyle P_{j}}$, называемый предикатным. Если алгебраическая система ${\displaystyle {\text{A}}}$ принадлежит классу ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ и ${\displaystyle o_{i}:A^{n_{i}}\to A}$ – основная операция в ней, то элемент ${\displaystyle o_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}})}$ из ${\displaystyle A}$ записывают в виде ${\displaystyle F_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}})}$. Аналогично если ${\displaystyle r_{j}\subseteq A^{m_{j}}}$ – основное отношение в ${\displaystyle A}$ и элемент ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{m_{j}})\in r_{j}}$, то пишут ${\displaystyle P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})=}$ И (истинно) или просто ${\displaystyle P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})}$. Если же ${\displaystyle (a_{1},\dots ,a_{m_{j}})\notin r_{j}}$, то пишут ${\displaystyle P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})=}$ Л (ложно) или ${\displaystyle \neg P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})}$. Пусть ${\displaystyle \Omega _{f}=\{F_{i}:i\in I\}}$, ${\displaystyle \Omega _{p}=\{P_{j}:j\in J\}}$ и ${\displaystyle \nu }$ – отображение объединения ${\displaystyle \Omega _{f}\cup \Omega _{p}}$ в множество натуральных чисел ${\displaystyle \left\{0,1,2,\dots \right\}}$, определяемое формулами: ${\displaystyle \nu (F_{i})=n_{i}\,(i\in I)}$, ${\displaystyle \nu (P_{j})=m_{j}\,(j\in J)}$. Объект ${\displaystyle \Omega =\langle \Omega _{f},\Omega _{p},\nu \rangle }$ называется сигнатурой класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Конечную сигнатуру записывают в виде строки ${\displaystyle \langle F_{1}^{(n_{1})},\dots ,F_{s}^{(n_{s})},P_{1}^{(m_{1})},\dots ,P_{t}^{(m_{t})}\rangle }$ или короче – ${\displaystyle \langle F_{1},\dots ,F_{s};P_{1},\dots ,P_{t}\rangle }$. Алгебраическая система ${\displaystyle A}$, записанная в сигнатуре ${\displaystyle \Omega }$, называется ${\displaystyle \Omega }$-системой и обозначается ${\displaystyle {\text{A}}=\langle A,\Omega \rangle }$.

Условия (1), (2) изоморфизма однотипных систем ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle {\text{A}}'}$ упрощаются, если эти системы рассматривать в одной сигнатуре ${\displaystyle \Omega }$. Так, если сигнатурными символами будут ${\displaystyle F_{i}\,\,(i\in I)}$, ${\displaystyle P_{j}\,\,(j\in J)}$, то (1), (2) примут вид

${\displaystyle \varphi (F_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}}))=F_{i}(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{n_{i}})),}$ (3)

${\displaystyle P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})\Leftrightarrow P_{j}(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{m_{j}})).}$ (4)

Гомоморфизмом ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle \Omega }$-систему ${\displaystyle {\text{A}}'}$ называется всякое отображение ${\displaystyle \varphi :A\to A'}$, удовлетворяющее условию (3) и условию

${\displaystyle P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})\Rightarrow P_{j}(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{m_{j}}))}$ (5)

для всех ${\displaystyle F_{i}\in \Omega _{f}}$, ${\displaystyle P_{j}\in \Omega _{p}}$ и для всех ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots }$ из ${\displaystyle A}$. Гомоморфизм ${\displaystyle \varphi :{\text{A}}\to {\text{A}}'}$ называется сильным, если для любых элементов ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{m_{j}}}$ из ${\displaystyle A'}$ и для любого предикатного символа ${\displaystyle P_{j}}$ из ${\displaystyle \Omega _{p}}$ соотношение ${\displaystyle P_{j}(b_{1},\dots b_{m_{j}})=}$ И влечет существование в ${\displaystyle A}$ таких прообразов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{m_{j}}}$ элементов ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{m_{j}}}$, для которых ${\displaystyle P_{j}(a_{1},\dots ,a_{m_{j}})=}$ И. Понятия гомоморфизма и сильного гомоморфизма алгебр совпадают. Для моделей существуют гомоморфизмы, которые не являются сильными, и взаимно однозначные гомоморфизмы, которые не являются изоморфизмами. При гомоморфизме ${\displaystyle \varphi :{\text{A}}\to {\text{A}}'}$ образами в ${\displaystyle {\text{A}}'}$ подсистем из ${\displaystyle {\text{A}}}$ и непустыми полными прообразами в ${\displaystyle {\text{A}}}$ подсистем из ${\displaystyle {\text{A}}'}$ являются подсистемы.

Эквивалентность ${\displaystyle \operatorname {th} eta\subseteq A\times A}$ называется конгруэнцией ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$, если

${\displaystyle \operatorname {th} eta(a_{1},b_{1}),\dots \operatorname {th} eta(a_{n_{i}},b_{n_{i}})\Rightarrow \operatorname {th} eta(F_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}}),F_{i}(b_{1},\dots ,b_{n_{i}}))}$

для всех ${\displaystyle a_{1},b_{1},\dots ,a_{n_{i}},b_{n_{i}}}$ из ${\displaystyle A}$ и для всех ${\displaystyle F_{i}\in \Omega _{f}}$.

Для каждого гомоморфизма ${\displaystyle \varphi }$ алгебраической системы ${\displaystyle A}$ бинарное отношение ${\displaystyle \operatorname {th} eta(a,b)}$, истинное тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \varphi (a)=\varphi (b)}$, является конгруэнцией в ${\displaystyle A}$, которая называется ядерной. Для произвольной конгруэнции ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ и для каждого элемента ${\displaystyle a\in A}$ множество ${\displaystyle a/\operatorname {th} eta=\{x\in A:\operatorname {th} eta(x,a)\}}$ называется смежным классом алгебраической системы ${\displaystyle A}$ по конгруэнции ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$. Полагая для каждых ${\displaystyle F_{i}\in \Omega _{f}}$, ${\displaystyle P_{j}\in \Omega _{p}}$,

${\displaystyle F_{i}(a_{1}/\operatorname {th} eta,\dots ,a_{n_{i}}/\operatorname {th} eta)=F_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}})/\operatorname {th} eta}$

и

${\displaystyle P_{j}(b_{1}/\operatorname {th} eta,\dots ,b_{m_{j}}/\operatorname {th} eta)={\text{И}}}$,

тогда и только тогда, когда существуют такие элементы ${\displaystyle c_{1},\dots c_{m_{j}}}$ в ${\displaystyle A}$, что ${\displaystyle \operatorname {th} eta(b_{1},c_{1}),\dots \operatorname {th} eta(b_{m_{j}},c_{m_{j}})}$ и ${\displaystyle P_{j}(c_{1},\dots c_{m_{j}})}$, мы получим алгебраическую систему ${\displaystyle {\text{A}}/\operatorname {th} eta}$, однотипную данной и называемую факторсистемой алгебраической системы ${\displaystyle A}$ по конгруэнции ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$. Для каждой конгруэнции ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ алгебраической системы ${\displaystyle A}$ каноническое отображение ${\displaystyle \varphi (a)=a/\operatorname {th} eta\,\,(a\in A)}$ является гомоморфизмом алгебраической системы ${\displaystyle A}$ на факторсистему ${\displaystyle {\text{A}}/\operatorname {th} eta}$, для которого данная конгруэнция ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ ядерная. Если ${\displaystyle \varphi }$ есть гомоморфизм алгебраической системы ${\displaystyle A}$ на алгебраическую систему ${\displaystyle {\text{A}}'}$ и ${\displaystyle \operatorname {th} eta}$ – ядерная конгруэнция для ${\displaystyle \varphi }$, то отображение ${\displaystyle \psi (a/\operatorname {th} eta)=\varphi (a)}$ является гомоморфизмом факторсистемы ${\displaystyle {\text{A}}/\operatorname {th} eta}$ на алгебраическую систему ${\displaystyle {\text{A}}'}$. Если при этом гомоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ сильный, то ${\displaystyle \psi }$ есть изоморфизм.

Декартовым произведением ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }=\langle A_{\alpha },\Omega \rangle (\alpha \in \Lambda \neq \emptyset )}$ называется ${\displaystyle \Omega }$-система ${\displaystyle {\text{D}}=\langle D,\Omega \rangle }$, в которой ${\displaystyle D}$ есть декартово произведение основных множеств ${\displaystyle A_{\alpha }(\alpha \in \Lambda )}$, а основные операции и основные отношения на ${\displaystyle D}$ задаются условиями: ${\displaystyle F_{i}(d_{1},\dots ,d_{n_{i}})\,(d_{1},\dots ,d_{n_{i}}\in D,F_{i}\in \Omega _{f})}$ есть элемент ${\displaystyle d\in D}$ с координатами ${\displaystyle d(\alpha )=F_{i}(d_{1}(\alpha ),\dots ,d_{n_{i}}(\alpha ))\,(\alpha \in \Lambda )}$, ${\displaystyle P_{j}(d_{1},\dots ,d_{m_{j}})=}$ И ${\displaystyle (P_{j}\in \Omega _{p})}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P_{j}(d_{1}(\alpha ),\dots ,d_{m_{j}}(\alpha ))=}$ И для всех ${\displaystyle \alpha \in \Lambda }$.

Основным формальным языком теории алгебраических систем является язык 1-й ступени ${\displaystyle L}$, который строится следующим образом. Алфавит языка ${\displaystyle L}$ в заданной сигнатуре ${\displaystyle \Omega =\langle \Omega _{f},\Omega _{p},\nu \rangle ,\Omega _{f}=\{F_{i};i\in I\},\Omega _{p}=\{P_{j};j\in J\}}$ состоит из предметных переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots }$, функциональных символов ${\displaystyle F_{i}(i\in I)}$, предикатных символов ${\displaystyle P_{j}(j\in J)}$, символов логических связок:

${\displaystyle \&,\,\lor ,\,\to ,\,\neg ,\,=}$,

кванторов:

${\displaystyle \forall x_{k}}$ – «для каждого элемента ${\displaystyle x_{k}}$»,

${\displaystyle \exists x_{k}}$ – «существует такой элемент ${\displaystyle x_{k}}$»

и вспомогательных символов: скобок и запятых. Для выражения свойств (1-й ступени) ${\displaystyle \Omega }$-систем употребляются конечные последовательности алфавитных символов, или слова, составленные по определенным правилам и называемые термами и формулами. Индуктивно полагают, что каждое слово вида ${\displaystyle x_{k}}$ или ${\displaystyle F_{i}}$ при ${\displaystyle \nu (F_{i})=0}$ есть терм; если f${\displaystyle _{1},\dots ,f_{n}}$ – термы и ${\displaystyle n=\nu (F_{i})}$, то ${\displaystyle F_{i}(f_{1},\dots ,f_{n})}$ – также терм.

Если ${\displaystyle A}$ есть ${\displaystyle \Omega }$-система и ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})}$ – терм сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, содержащий предметные переменные ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{k}}$, то, заменяя ${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$ какими-нибудь элементами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ из ${\displaystyle A}$ и выполняя над последними операции в ${\displaystyle A}$, соответствующие входящим в терм символам из ${\displaystyle \Omega _{f}}$, получают элемент ${\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{k})}$ из ${\displaystyle A}$, называемый значением терма ${\displaystyle f(x_{1},\dots ,f_{k})}$ при ${\displaystyle x_{1}=a_{1},\dots ,x_{k}=a_{k}}$. Если ${\displaystyle \varphi }$ – гомоморфизм ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle \Omega }$-систему ${\displaystyle {\text{A}}'}$, то

${\displaystyle \varphi (f(a_{1},\dots ,a_{k}))=f(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{k}))}$.

Понятие формулы сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, свободных и связанных предметных переменных в ней определяется также индуктивно:

1) если ${\displaystyle P}$ – какой-нибудь предикатный символ из ${\displaystyle \Omega }$ или знак равенства ${\displaystyle =}$, ${\displaystyle m=\nu (P)}$ или ${\displaystyle 2}$ соответственно, а ${\displaystyle f_{1},\dots f_{m}}$ произвольные термы сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, то слово ${\displaystyle P(f_{1},\dots f_{m})}$ есть формула, в которой все предметные переменные свободны;

2) если ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – формула, то ${\displaystyle \neg {\mathcal {F}}}$ – также формула.

Свободные (связанные) предметные переменные в формуле ${\displaystyle \neg {\mathcal {F}}}$ те и только те, которые являются свободными (связанными) в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$;

3) если ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}}$ – формулы и предметные переменные, входящие одновременно в обе эти формулы, свободны в каждой из них, то слова

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}\&{\mathcal {F}}_{2},\,{\mathcal {F}}_{1}\lor {\mathcal {F}}_{2},\,{\mathcal {F}}_{1}\to {\mathcal {F}}_{2}}$ (6)

– также формулы.

Предметные переменные, свободные (связанные) хотя бы в одной из формул ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1},{\mathcal {F}}_{2}}$, называются свободными (связанными) и в формулах (6);

4) если предметное переменное ${\displaystyle x_{k}}$ входит свободно в формулу ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, то слова${\displaystyle (\forall x_{k}){\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle (\exists x_{k}){\mathcal {F}}}$ снова являются формулами, в которых переменное ${\displaystyle x_{k}}$ связанное, а все остальные предметные переменные, входящие в формулу ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ свободно или связанно, остаются такими же и в формулах ${\displaystyle (\forall x_{k}){\mathcal {F}}}$, ${\displaystyle (\exists x_{k}){\mathcal {F}}}$.

Если заданы ${\displaystyle \Omega }$-система ${\displaystyle A}$ и формула${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, то, придавая всем свободным предметным переменным ${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$ в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ какие-нибудь значения ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ из ${\displaystyle A}$ и интерпретируя функциональные и предикатные символы, входящие в ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, как соответствующие основные операции и основные отношения в ${\displaystyle A}$, мы получим конкретное высказывание, которое будет истинным или ложным.

В соответствии с этим формуле ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ приписывают значение И или Л при ${\displaystyle x_{1}=a_{1},\dots ,x_{k}=a_{k}}$, обозначаемое ${\displaystyle {\mathcal {F}}(a_{1},\dots ,a_{k})}$. Если ${\displaystyle \varphi }$ – изоморфное отображение ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle \Omega }$-систему ${\displaystyle {\text{A}}'}$, то

${\displaystyle {\mathcal {F}}(a_{1},\dots ,a_{k})={\mathcal {F}}(\varphi (a_{1}),\dots ,\varphi (a_{k}))}$

для всех ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$ из ${\displaystyle A}$.

Формула ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ называется замкнутой, если она не содержит свободных предметных переменных. Для любой замкнутой формулы ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ и произвольной ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ можно говорить об истинности или ложности ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ в ${\displaystyle A}$. Совокупность ${\displaystyle S}$ замкнутых формул данной сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ называется выполнимой, или совместной, если существует ${\displaystyle \Omega }$-система, в которой истинны все формулы из ${\displaystyle S}$.

Если выполнима каждая конечная часть бесконечной совокупности ${\displaystyle S}$ замкнутых формул какой-то сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, то выполнима и вся совокупность ${\displaystyle S}$.

Пусть ${\displaystyle S}$ – некоторая совокупность замкнутых формул сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$. Класс всех ${\displaystyle \Omega }$-систем, в которых истинны все формулы из ${\displaystyle S}$, будет обозначаться ${\displaystyle KS}$. Совокупность ${\displaystyle {\rm {Th}}{\mathcal {A}}}$ всех замкнутых формул сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, истинных во всех ${\displaystyle \Omega }$-системах из заданного класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, называется элементарной теорией класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. В частности, если ${\displaystyle ({\text{A}})}$ – класс ${\displaystyle \Omega }$-систем, изоморфных данной ${\displaystyle \Omega }$-системе ${\displaystyle A}$, то ${\displaystyle {\rm {Th}}({\text{A}})}$называется элементарной теорией ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ и обозначается просто ${\displaystyle {\rm {Th}}{\text{A}}}$. Класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем называется аксиоматизируемым, если ${\displaystyle {\mathcal {A}}=K{\rm {Th}}{\mathcal {A}}}$. Класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем аксиоматизируем тогда и только тогда, когда существует такая совокупность ${\displaystyle S}$ замкнутых формул сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, что ${\displaystyle {\mathcal {A}}=KS}$.

Наряду с общим понятием аксиоматизируемости рассматривают аксиоматизируемость при помощи формул 1-й ступени специального вида. Наиболее важными в алгебре специальными формулами заданной сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ являются:

тождества – формулы вида

${\displaystyle (\forall x_{1})\dots (\forall x_{s})P(f_{1},\dots ,f_{m})}$,

где ${\displaystyle P}$ – какой-либо предикатный символ из ${\displaystyle \Omega }$ или знак равенства ${\displaystyle =}$, а${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{m}}$ – термы сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ от ${\displaystyle x_{1},\dots x_{s}}$;

квазитождества – формулы вида

${\displaystyle (\forall x_{1})\dots (\forall x_{s})[P(f_{1},\dots ,f_{k})\&\dots \&Q(g_{1},\dots ,g_{m}))\to R(h_{1},\dots ,h_{n})]}$,

где ${\displaystyle P,\dots ,Q,R}$ – некоторые предикатные символы из ${\displaystyle \Omega _{p}}$ или знаки равенства, а ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{k},g_{1},\dots ,g_{m},h_{1},\dots ,h_{n}}$ – термы сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ от ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$;

универсальные формулы – формулы вида${\displaystyle (\forall x_{1})\dots (\forall x_{s}){\mathcal {F}}}$, где ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ – формула сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, не содержащая кванторов.

Если задано множество ${\displaystyle S}$ тождеств (квазитождеств или универсальных формул) сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, то класс ${\displaystyle KS}$ называется многообразием (квазимногообразием или универсальным классом) ${\displaystyle \Omega }$-систем.

Непустой класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем является многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подсистем, декартовых произведений и гомоморфных образов.

Если ${\displaystyle A=\langle A,\Omega \rangle }$ – некоторая ${\displaystyle \Omega }$-система, то, заменяя каждый функциональный символ ${\displaystyle F_{i}}$ из ${\displaystyle \Omega _{f}}$ предикатным символом ${\displaystyle F_{i}^{*}}$ арности ${\displaystyle n_{i}+1}$ (на ${\displaystyle 1}$ выше) и полагая для элементов ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n_{i}},a}$ из ${\displaystyle A}$${\displaystyle F_{i}^{*}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}},a)\Leftrightarrow F_{i}(a_{1},\dots ,a_{n_{i}})=a}$, мы получим модель ${\displaystyle {\text{A}}^{*}=\langle A,\Omega ^{*}\rangle }$, для которой ${\displaystyle \Omega _{p}^{*}=\Omega _{p}\cup \{F_{i}^{*}:F_{i}\in \Omega _{f}\}}$. Подмодели модели ${\displaystyle {\text{A}}^{*}}$ называются подмоделями ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$. Для любых непустых конечных подмножеств ${\displaystyle A_{\alpha }\subseteq A}$, ${\displaystyle \Omega _{\beta }^{*}\subseteq \Omega ^{*}}$ модель ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha \beta }=\langle A_{\alpha },\Omega _{\beta }^{*}\rangle }$ называется конечным обеднением конечной подмодели ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }=\langle A_{\alpha },\Omega ^{*}\rangle }$ ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle \Omega }$-система ${\displaystyle A}$ называется локально вложимой в класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем, если для каждого конечного обеднения ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha \beta }}$ любой конечной подмодели ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle A}$ существует в классе ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ такая ${\displaystyle \Omega }$-система ${\displaystyle B}$ (зависящая от выбранного конечного обеднения ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha \beta }}$), что модель ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha \beta }=\langle A_{\alpha },\Omega _{\beta }^{*}\rangle }$ изоморфна модели ${\displaystyle {\text{B}}_{\alpha \beta }=\langle B_{\alpha },\Omega _{\beta }^{*}\rangle }$ для подходящего подмножества ${\displaystyle B_{\alpha }\subseteq B}$.

Подкласс ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем называется универсальным (или универсально аксиоматизируемым) в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, если существует такая совокупность ${\displaystyle S}$ универсальных формул сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, что ${\displaystyle {\mathcal {C}}=KS\cap {\mathcal {A}}}$.

Подкласс ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ класса ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем универсален в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ содержит все системы из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, локально вложимые в ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$.

Пусть ${\displaystyle {\text{D}}=\prod {\text{A}}_{\alpha }}$ –

декартово произведение ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }(\alpha \in \Lambda ,\Lambda \neq \emptyset )}$ и ${\displaystyle \Phi }$ – некоторый фильтр над ${\displaystyle \Lambda }$. Отношение

${\displaystyle d\equiv {}_{\Phi }h\Leftrightarrow \{\alpha \in \Lambda :d(\alpha )=h(\alpha )\}\in \Phi \,(d,h\in D)}$

есть эквивалентность на основном множестве ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle D}$. Для каждого элемента ${\displaystyle d\in D}$ пусть ${\displaystyle d/\Phi }$ есть смежный класс по этой эквивалентности и ${\displaystyle D/\Phi =\{d/\Phi :d\in D\}}$. Полагая

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{i}(d_{1}/\Phi ,\dots ,d_{n_{i}}/\Phi )=d\Phi \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \{\alpha :F_{i}(d_{1}(\alpha ),\dots ,d_{n_{i}}(\alpha ))=d(\alpha )\}\in \Phi (F_{i}\in \Omega _{f}),\,P_{j}(d_{1}/\Phi ,\dots ,d_{m_{j}}/\Phi )\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \{\alpha :P_{j}(d_{1}(\alpha ),\dots ,d_{m_{j}}(\alpha ))\}\in \Phi (P_{j}\in \Omega _{p})\end{aligned}}}$,

можно получить ${\displaystyle \Omega }$-систему ${\displaystyle {\text{D}}/\Phi =\langle D/\Phi ,\Omega \rangle }$, которая называется фильтрованным по фильтру ${\displaystyle \Phi }$ произведением ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }(\alpha \in \Lambda )}$. ${\displaystyle \Omega }$-системы ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }(\alpha \in \Lambda )}$ называются сомножителями этого произведения. Если ${\displaystyle \Phi }$ – ультрафильтр над ${\displaystyle \Lambda }$, то фильтрованное произведение ${\displaystyle {\text{D}}/\Phi }$ называется ультрапроизведением ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }(\alpha \in \Lambda )}$.

Теорема об ультрапроизведениях. Если ${\displaystyle {\text{D}}/\Phi }$ – ультрапроизведение ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }(\alpha \in \Lambda )}$ и ${\displaystyle {\mathcal {F}}(x_{1},\dots ,x_{k})}$ – произвольная формула сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$, в которой свободными предметными переменными являются ${\displaystyle x_{1},\dots x_{k}}$, то для любых элементов ${\displaystyle d_{1},\dots d_{k}\in D}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}(d_{1}/\Phi ,\dots ,d_{k}/\Phi )={\text{И}}\Leftrightarrow \{\alpha :{\mathcal {F}}(d_{1}(\alpha ),\dots ,d_{k}(\alpha ))={\text{И}}\}\in \Phi }$.

В частности, замкнутая формула ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ сигнатуры ${\displaystyle \Omega }$ истинна в ультрапроизведении ${\displaystyle {\text{D}}/\Phi }$ ${\displaystyle \Omega }$-систем ${\displaystyle {\text{A}}_{\alpha }}$ (${\displaystyle \alpha \in \Lambda }$) тогда и только тогда, когда множество номеров сомножителей, в которых формула ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ истинна, принадлежит ультрафильтру ${\displaystyle \Phi }$. Поэтому всякий аксиоматизируемый класс ${\displaystyle \Omega }$-систем замкнут относительно ультрапроизведений.

Класс ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем универсально аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут относительно подсистем и ультрапроизведений.

${\displaystyle \Omega }$-система ${\displaystyle {\text{E}}=\langle \{e\},\Omega \rangle }$ называется единичной, если её основное множество состоит из одного элемента, скажем ${\displaystyle e}$, и ${\displaystyle P_{j}(e,\dots ,e)=}$ И для всех ${\displaystyle P_{j}\in \Omega _{p}}$.

Теорема Мальцева. Класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем является квазимногообразием тогда и только тогда, когда он содержит единичную ${\displaystyle \Omega }$-систему и замкнут относительно подсистем и фильтрованных (по произвольному фильтру) произведений.

Непустой класс ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \Omega }$-систем называется категоричным, если все ${\displaystyle \Omega }$-системы из ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ изоморфны между собой. Всякий категоричный аксиоматизируемый класс ${\displaystyle \Omega }$-систем состоит из одной (с точностью до изоморфизма) конечной ${\displaystyle \Omega }$-системы.