Теория групп Ли

Тео́рия групп Ли, раздел алгебры, изучающий группы Ли. Группой Ли называется группа, являющаяся одновременно гладким (аналитическим) вещественным или комплексным многообразием, алгебраические операции в которой выражаются в локальных координатах гладкими (аналитическими) функциями. Обычно термин «группа Ли» относят к вещественному случаю, а в комплексном случае говорят о комплексной группе Ли. Названы по имени С. Ли, который в своих работах 1876–1893 гг. заложил основы теории таких групп.

В работах Ли рассматривались группы локальных аналитических преобразований вещественного евклидова пространства ${\displaystyle R^{n}}$ (а также комплексного пространства ${\displaystyle C^{n}}$), зависящих от конечного числа параметров ${\displaystyle a_{1},..,a_{r}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widetilde {x}}_{i}=f_{i}(x_{1},\;...,x_{n},a_{1},\;...,a_{r}),\ \\;i=1,\;...,n\end{aligned}}}$.

Здесь ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}}$ – аналитические функции, и предполагается, что параметры ${\displaystyle a_{1},...,a_{r}}$, соответствующие произведению двух преобразований, являются аналитическими функциями от параметров сомножителей. Чтобы подчеркнуть контраст с конечными группами подстановок, такие группы преобразований стали называть конечными непрерывными группами. При этом рассматривались и группы преобразований, зависящие от бесконечного числа параметров (в современной терминологии – бесконечномерные группы Ли). Термин «непрерывные группы» сохранялся за группами Ли до 1930-х гг., хотя термин «группы Ли» начал употребляться намного раньше. Д. Гильберт в докладе на 2-м Международном математическом конгрессе (Париж, 1900) поставил вопрос о том, будет ли любая локально евклидова топологическая группа группой Ли (5-я проблема Гильберта). Для групп преобразований это означает, что в определении групп Ли можно считать функции ${\displaystyle f_{i}}$ непрерывными и непрерывной заменой координат превратить их в гладкие (или аналитические). Эта проблема была положительно решена американскими учёными Э. Глисоном, Д. Монтгомери и Л. Циппином (1955) после того, как ряд глубоких частных результатов был получен Дж. фон Нейманом, Л. С. Понтрягиным и др.

Примерами групп Ли являются различные группы преобразований, используемые в геометрии, среди которых следующие:

1. ${\displaystyle n}$-мерное векторное пространство с операцией сложения векторов.

2. Окружность, рассматриваемая как группа поворотов плоскости на какой-либо угол с операцией сложения углов.

3. Группа матриц (или линейных преобразований векторного пространства) с операцией умножения матриц.

В отличие от первых двух, последний пример даёт некоммутативную группу Ли.

Теория групп Ли возникла в связи с изучением дифференциальных уравнений. С каждым дифференциальным уравнением связана группа Ли преобразований, оставляющих его неизменным. Например, однородные дифференциальные уравнения ${\displaystyle {y}'=f(y/x)}$ не изменяются при преобразованиях плоскости вида ${\displaystyle {\widetilde {y}}=cy,{\widetilde {x}}=cx}$. С. Ли нашёл алгебраическое условие на группу Ли уравнения, достаточное для того, чтобы оно разрешалось (интегрировалось) в квадратурах (отсюда возникло понятие разрешимой группы Ли). Ли исходил при этом из аналогичных понятий и результатов теории Галуа.

Ф. Клейном была предложена общая точка зрения (Эрлангенская программа), согласно которой геометрия есть наука, изучающая те свойства фигур, которые не меняются при заданной группе непрерывных преобразований. С этим связана важная роль теории групп Ли в геометрии. Основные примеры групп Ли являются группами преобразований различных геометрических структур, например группы преобразований, сохраняющих квадратичную форму (ортогональные преобразования), группы проективных, т. е. дробно-линейных, преобразований, группы движений римановых многообразий или группы их изометрий, группы всех автоморфизмов компактного комплексного многообразия (комплексная группа Ли) и др.

С. Ли разработал метод изучения непрерывных групп преобразований, основанный на сопоставлении каждой такой группе некоторого набора аналитических векторных полей (см. Векторное исчисление), которые он называл инфинитезимальными преобразованиями, а именно – полей

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{j}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{i}}{\partial a_{j}}}(x_{1},\;...,\;x_{n},\;0,\;...,\;0){\frac {\partial }{\partial x_{i}}},\ \ \\;j=1,\;...,\;r\end{aligned}}}$.

Они определены в окрестности точки ${\displaystyle {\text{0}}}$ пространства параметров ${\displaystyle {\text{R}}^{r}}$, которая соответствует тождественному преобразованию. Оказывается, что коммутаторы ${\displaystyle [\delta _{i},d_{j}],\;i,j=1,...,r}$, выражаются через ${\displaystyle \delta _{1},...,\delta _{r}}$ в виде линейных комбинаций с постоянными коэффициентами, т. е. линейная оболочка ${\displaystyle L}$ полей ${\displaystyle \delta _{1},...,d_{r}}$ является конечномерным векторным пространством с дополнительной операцией коммутирования (см. Теория алгебр Ли). Алгебра ${\displaystyle L}$, названная С. Ли инфинитезимальной группой, в дальнейшем стала называться алгеброй Ли или касательной алгеброй данной группы Ли. Как было установлено С. Ли, алгебра ${\displaystyle L}$ полностью определяет группу локальных преобразований ${\displaystyle f_{1},...,f_{n}}$.

В современной терминологии алгебра Ли ${\displaystyle L(G)}$ данной группы Ли ${\displaystyle G}$ представляет собой касательное пространство (на котором определена структура алгебры Ли) к группе в единичном элементе ${\displaystyle e}$. Она имеет ту же размерность, что и исходная группа Ли. Умножение (коммутирование) ${\displaystyle [u,v]}$ касательных векторов ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ определяется как касательный вектор ${\displaystyle [u,v]}$ при ${\displaystyle t=0}$ к кривой

${\displaystyle q(t)=\alpha ({\sqrt {t}})\beta ({\sqrt {t}})\alpha ({\sqrt {t}})^{-1}\beta ({\sqrt {t}})^{-1}}$,

где α, β – такие гладкие кривые на ${\displaystyle G}$, что ${\displaystyle a(0)=\beta (0)=e}$, и их касательные векторы при ${\displaystyle t=0}$ суть векторы ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ соответственно. Например, группе ${\displaystyle G=GL_{n}({\text{R}})}$ всех невырожденных вещественных матриц порядка ${\displaystyle n}$ отвечает алгебра Ли ${\displaystyle L(G)=gl_{n}({\text{R}})}$ всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ с операцией ${\displaystyle \left[X,Y\right]=XY-YX}$; группе ${\displaystyle O({\text{R}}^{3})}$ всех вращений евклидова пространства ${\displaystyle {\text{R}}^{3}}$ отвечает алгебра Ли ${\displaystyle L(O({\text{R}}^{3}))={\text{R}}^{3}}$, которая определяется в пространстве ${\displaystyle {\text{R}}^{3}}$ векторным умножением. В теории групп Ли группы Ли рассматриваются с точностью до аналитического изоморфизма, т. е. взаимно однозначного аналитического (в обе стороны) отображения одной группы в другую, сохраняющего умножение и единичный элемент. Две односвязные группы Ли аналитически изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их алгебры Ли. Для всякой конечномерной алгебры Ли ${\displaystyle L}$ (над полем ${\displaystyle R}$ или ${\displaystyle C}$) существует группа Ли (соответственно, вещественная или комплексная), имеющая ${\displaystyle L}$ в качестве касательной алгебры.

Инфинитезимальный метод, разработанный С. Ли, позволил в дальнейшем получить глубокие результаты о строении и классификации связных групп Ли. По аналогии с теорией обычных групп определяются разрешимые группы Ли. Группа Ли является разрешимой, если её алгебра Ли разрешима. Каждая связная группа Ли ${\displaystyle G}$ содержит наибольшую связную разрешимую подгруппу Ли ${\displaystyle {\text{rad}}\;G}$. Группа ${\displaystyle G}$ называется полупростой, если ${\displaystyle {\text{rad}}\;G=\left\{e\right\}}$. Также можно ввести понятия полупростых и простых групп Ли [эти свойства для группы Ли ${\displaystyle G}$ равносильны, соответственно, полупростоте и простоте её алгебры Ли ${\displaystyle L(G)}$]. Каждая односвязная полупростая группа Ли разлагается в прямое произведение простых подгрупп Ли. На этом пути получена полная классификация связных полупростых групп Ли. В каждой размерности их имеется, с точностью до изоморфизма, лишь конечное число. Эти и другие результаты современной теории групп Ли были получены после работ С. Ли, в основном в 20 в. Они связаны с именами немецких математиков В. Киллинга, Г. Вейля и французских математиков Э. Картана, К. Шевалле.

Зародившаяся на стыке алгебры, геометрии и анализа, теория групп Ли сохраняет плодотворные связи с этими дисциплинами. С алгеброй она связана через теорию алгебр Ли и теорию алгебраических групп. Связь групп Ли с дифференциальными уравнениями, явившаяся для С. Ли одним из стимулов для изучения непрерывных групп, позволяет во многих случаях описывать семейство всех решений системы дифференциальных уравнений и строить некоторые конкретные решения. Существуют связи между теорией групп Ли и теорией оптимального управления. Важные приложения в математике и физике имеет теория линейных представлений групп Ли. Симметрии относительно различных классов групп Ли играют фундаментальную роль в современных теориях элементарных частиц, начиная с теории унитарной симметрии, классифицирующей элементарные частицы с точки зрения линейных представлений специальных унитарных групп ${\displaystyle SU_{2}}$ и ${\displaystyle SU_{3}}$ и приведшей к концепции кварков, и кончая современными калибровочными теориями, объединившими основные виды взаимодействий в единое целое.