Оптимальное управление в математике

Оптима́льное управле́ние в матема́тике, раздел, в котором изучаются неклассические задачи вариационного исчисления. В отличие от классических вариационных задач, где управляющие параметры меняются в некоторой открытой области (без границы), теория оптимального управления охватывает и тот случай, когда управляющие параметры могут принимать и граничные значения.

Основным результатом теории оптимального управления является принцип максимума Понтрягина, дающий общее необходимое условие оптимальности управления. Этот результат и связанные с ним исследования, проведённые с начала 1950-х гг. Л. С. Понтрягиным и его сотрудниками, послужили исходным пунктом разработки теоретических, вычислительных и прикладных аспектов теории оптимального управления. При решении ряда задач оптимального управления с успехом используются идеи метода динамического программирования, основы которого разработаны Р. Беллманом и его сотрудниками.

В качестве типичной для теории оптимального управления можно привести задачу об оптимальном управлении объектом, математическая модель которого даётся системой обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {dx^{i}}{dt}}=f^{i}(x^{1},\dots ,x^{n},u^{1},\dots ,u^{r}),\quad i=1,\dots ,n,\quad }$ (1)

где ${\displaystyle x^{1},\dots ,x^{n}}$ – фазовые координаты, характеризующие состояние объекта в момент ${\displaystyle t}$, а ${\displaystyle u^{1},\dots ,u^{r}}$ – управляющие параметры. Управление объектом означает выбор управляющих параметров как функций времени,

${\displaystyle u^{j}=u^{j}(t),\quad j=1,\dots ,r,\quad }$ (2)

являющихся допустимыми с учётом имеющихся возможностей управления объектом. Например, в прикладных задачах часто требуется, чтобы в каждый момент времени точка ${\displaystyle (u^{1},\dots ,u^{r})}$ принадлежала заданному замкнутому множеству ${\displaystyle U}$. Последнее обстоятельство делает рассматриваемую вариационную задачу неклассической.

Пусть заданы начальное ${\displaystyle (x_{0}^{1},\dots ,x_{0}^{n})}$ и конечное ${\displaystyle (x_{1}^{1},\dots ,x_{1}^{n})}$ состояния объекта (1). Об управлении (2) говорят, что оно реализует цель управления, если найдётся такой момент времени ${\displaystyle t_{1}>t_{0}}$, что решение ${\displaystyle (x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t))}$ задачи

${\displaystyle {\frac {dx^{i}}{dt}}=f^{i}(x^{1},\dots ,x^{n},u^{1}(t),\dots ,u^{r}(t)),\quad x^{i}(t_{0})=x_{0}^{i},\ i=1,\dots ,n,\quad }$ (3)

удовлетворяет условию ${\displaystyle x^{i}(t_{1})=x_{1}^{i},i=1,\dots ,n}$. Качество этого управления оценивают значением функционала

${\displaystyle J(u)=\int _{t_{0}}^{t_{1}}f^{0}(x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t),u^{1}(t),\dots ,u^{r}(t))dt,\quad }$ (4)

где ${\displaystyle f^{0}(x^{1},\dots ,x^{n},u^{1},\dots ,u^{r})}$ – заданная функция. Задача оптимального управления состоит в отыскании такого реализующего цель управления, для которого функционал (4) принимает наименьшее возможное значение. Таким образом, математическая теория оптимального управления – это раздел математики, в котором рассматриваются неклассические вариационные задачи отыскания экстремумов функционалов на решениях уравнений, описывающих управляемые объекты, и управлений, на которых реализуются экстремумы.

Для этих задач справедливо следующее необходимое условие оптимальности управления.

Принцип максимума Понтрягина. Пусть вектор-функция

${\displaystyle u=u(t)=(u^{1}(t),\dots ,u^{r}(t)),\quad t_{0}\leq t\leq t_{1},\quad }$ (5)

– оптимальное управление, а вектор-функция

${\displaystyle x=x(t)=(x^{1}(t),\dots ,x^{n}(t)),\ \ \ \ t_{0}\leq t\leq t_{1},}$

– соответствующее ему решение задачи (3). Рассматривают вспомогательную линейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle {\frac {d\psi _{k}}{dt}}=-\sum _{v=0}^{n}{\frac {\partial f^{v}(x(t),u(t))}{\partial x^{k}}}\psi _{v},\quad k=0,1,\dots ,n,\quad }$ (6)

и функцию

${\displaystyle H(\psi ,x,u)=\sum _{v=0}^{n}\psi _{v}f^{v}(x,u),}$

зависящую, помимо ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle u}$, от вектора ${\displaystyle \psi =(\psi _{0},\psi _{1},\dots ,\psi _{n})}$. Тогда у линейной системы (6) существует такое нетривиальное решение

${\displaystyle \psi =\psi (t)=(\psi _{0}(t),\psi _{1}(t),\dots ,\psi _{n}(t)),\ \ \ \ t_{0}\leq t\leq t_{1},}$

что для всех значений ${\displaystyle t}$ из отрезка ${\displaystyle [t_{0},t_{1}]}$, в которых функция (5) непрерывна, выполнено соотношение

${\displaystyle \max _{u\in U}H(\psi (t),x(t),u)=H(\psi (t),x(t),u(t))=0,}$

причём ${\displaystyle \psi _{0}(t)}$ – постоянная, не превосходящая нуля.

К виду (1) обычно приводятся уравнения движения в случае управляемых механических объектов с конечным числом степеней свободы. В многочисленных реальных ситуациях возникают и иные постановки задач оптимального управления, отличающиеся от приведённых выше: задачи с фиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее задана; задачи со скользящими концами, когда про начальное и конечное состояния известно лишь, что они принадлежат некоторым множествам; задачи с фазовыми ограничениями, когда решение задачи (3) в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и др. В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта величина ${\displaystyle x}$ является функцией не только времени, но и пространственных координат (например, величина ${\displaystyle x}$ может описывать распределение температуры в теле с течением времени), а закон движения будет дифференциальным уравнением с частными производными или интегро-дифференциальным уравнением. Часто приходится рассматривать управляемые объекты в случае, когда независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет собой систему конечно-разностных уравнений. Наконец, отдельную теорию составляет оптимальное управление стохастическими объектами.