Однородное дифференциальное уравнение первого порядка

Одноро́дное дифференциа́льное уравне́ние пе́рвого поря́дка, обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

${\displaystyle y^{\prime }=f(x,y)}$ (1)

в случае, когда функция ${\displaystyle f(x,y)}$ является однородной функцией степени ${\displaystyle 0}$, т. е. для любого ненулевого вещественного числа ${\displaystyle \lambda }$ выполняется равенство ${\displaystyle f(\lambda x,\lambda y)=f(x,y)}$.

Однородную функцию ${\displaystyle f(x,y)}$ можно представить в виде функции одного аргумента: ${\displaystyle f(x,y)=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)}$.

Уравнение

${\displaystyle M(x,y)dx+N(x,y)dy=0}$

является однородным, если функции ${\displaystyle M(x,y)}$ и ${\displaystyle N(x,y)}$ являются однородными одинаковой степени ${\displaystyle n}$:

${\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y),\ \ \ \ N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)}$.

Однородное уравнение

${\displaystyle y^{\prime }=\varphi \left({\frac {y}{x}}\right)}$ (2)

сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой

${\displaystyle y=xz,}$ (3)

где ${\displaystyle z=z(x)}$ – новая неизвестная. Тогда

${\displaystyle y^{\prime }=z+xz^{\prime }}$

и уравнение ${\displaystyle (2)}$ принимает вид

${\displaystyle z+xz^{\prime }=\varphi (z)}$

или

${\displaystyle xz^{\prime }=\varphi (z)-z.}$ (4)

Если правая часть ${\displaystyle \varphi (z)-z}$ имеет корень ${\displaystyle z_{0}}$, то ${\displaystyle z=z_{0}}$ есть решение уравнения ${\displaystyle (4)}$ и ${\displaystyle y=z_{0}x}$ является решением уравнения ${\displaystyle (2)}$.

Предполагая, что ${\displaystyle \varphi (z)-z\neq 0,}$ делим переменные в уравнении ${\displaystyle (4)}$:

${\displaystyle {\frac {dz}{\varphi (z)-z}}={\frac {dx}{x}}.}$ (5)

Общий интеграл уравнения ${\displaystyle (5)}$ имеет вид

${\displaystyle \mathrm {\Phi } (z)=ln{(}x)+C,}$

где ${\displaystyle \mathrm {\Phi } (z)}$ – первообразная функции ${\displaystyle {\frac {1}{\varphi (z)-z}}}$, ${\displaystyle {\text{С}}}$ – произвольная постоянная.

Общий интеграл уравнения ${\displaystyle (1)}$

${\displaystyle \mathrm {\Phi } ({\frac {y}{x}})=ln{(}x)+C}$.

Схожее название имеет линейное однородное ОДУ

${\displaystyle Ly=0,}$

где ${\displaystyle L}$ – линейный дифференциальный оператор произвольного порядка. Во избежание путаницы уравнение ${\displaystyle (2)}$ можно называть уравнением с однородной правой частью.

Пример. Рассмотрим ОДУ первого порядка

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})y^{\prime }=xy.}$ (6)

Уравнение ${\displaystyle (6)}$ является однородным, поскольку функции ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ и ${\displaystyle xy}$ являются однородными второй степени.

Преобразуем уравнение ${\displaystyle (6)}$ к виду

${\displaystyle y^{\prime }={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}}$

и произведём замену ${\displaystyle (3)}$. Уравнение принимает вид

${\displaystyle z+xz^{\prime }={\frac {z}{1+z^{2}}}.}$ (7)

Переносим ${\displaystyle z}$ в правую часть равенства:

${\displaystyle xz^{\prime }=-{\frac {z^{3}}{1+z^{2}}}.}$ (8)

Правая часть уравнения обращается в ноль при ${\displaystyle z=0}$; следовательно, уравнение ${\displaystyle (5)}$ имеет решение ${\displaystyle y=0}$.

Делим переменные в уравнении ${\displaystyle (8)}$:

${\displaystyle -{\frac {1+z^{2}}{z^{3}}}dz={\frac {dx}{x}}.}$ (9)

Интегрируя уравнение ${\displaystyle (9)}$, находим общий интеграл вспомогательного уравнения ${\displaystyle (7)}$:

${\displaystyle {\frac {1}{2z^{2}}}-ln{\left|z\right|}=ln{\left|x\right|}+C}$.

Выполняя обратную замену ${\displaystyle (3)}$, получаем общий интеграл уравнения ${\displaystyle (6)}$:

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2y^{2}}}-ln{\left|{\frac {y}{x}}\right|}=ln{\left|x\right|}+C}$

или ${\displaystyle {\frac {x^{2}}{2y^{2}}}-ln{\left|y\right|}=C}$.