Теория алгебр Ли

Тео́рия а́лгебр Ли, раздел алгебры, изучающий алгебры Ли. Алгеброй Ли называется алгебра (см. Теория колец) над некоторым полем ${\displaystyle K}$ с умножением (для элементов ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ алгебры Ли их произведение обычно обозначается ${\displaystyle [a,b]}$), обладающим следующими свойствами: для любых элементов ${\displaystyle x,y,z}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[x,x\right]=0;\\\left[x,\left[y,z\right]\right]+\left[y,\left[z,x\right]\right]+\left[z,\left[x,y\right]\right]=0\end{aligned}}}$

(тождество Якоби).

Первое из этих свойств влечёт равенство ${\displaystyle \left[x,y\right]=-\left[y,x\right]}$ (антикоммутативность). Алгебра Ли называется коммутативной (или абелевой), если в ней выполняется равенство ${\displaystyle [x,y]=0}$ для всех элементов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$. Алгебры Ли, как правило, неассоциативны.

Примеры и конструкции алгебр Ли:

1) Любая ассоциативная алгебра ${\displaystyle A}$ (с умножением, обозначаемым обычным образом) превращается в алгебру Ли ${\displaystyle A_{L}}$, если ввести в ней новое умножение ${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$ (коммутирование). Таким образом строится алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(K)}$ всех матриц порядка ${\displaystyle n}$ над ${\displaystyle K}$, умножение в которой есть коммутирование матриц, или алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$ линейных преобразований векторного пространства ${\displaystyle V}$.

2) Алгебры Ли аналитических (соответственно, гладких) векторных полей на любом аналитическом (соответственно, гладком) многообразии.

3) С каждой группой Ли ${\displaystyle G}$ связывается алгебра Ли ${\displaystyle L(G)}$ той же размерности (см. Теория групп Ли).

Не всякая алгебра Ли получается из некоторой ассоциативной алгебры с помощью конструкции из примера 1, однако любую алгебру Ли ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle K}$ можно вложить как подалгебру в алгебру Ли такого типа. Более того, существует такая ассоциативная алгебра ${\displaystyle U(L)}$ и такое вложение ${\displaystyle i\colon L\rightarrow U(L)_{L}}$, что любой гомоморфизм ${\displaystyle f\colon L\rightarrow A_{L}}$, где ${\displaystyle A}$ – ассоциативная алгебра, представи́м в виде суперпозиции ${\displaystyle f=\phi \circ i}$, где ${\displaystyle \phi \colon U(L)\rightarrow A}$ – однозначно определённый гомоморфизм алгебр. Алгебра ${\displaystyle U(L)}$ (вместе с вложением ${\displaystyle i}$) определена для ${\displaystyle L}$ однозначно и называется универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли ${\displaystyle L}$. Если в ${\displaystyle L}$ выбрать базис ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots }$, то одночлены ${\displaystyle i(e_{k_{1}})i(e_{k_{2}})\ldots i(e_{k_{n}})}$, где ${\displaystyle k_{1}\leqslant \ldots \leqslant k_{n}}$ – целые неотрицательные числа, составляют базис в ${\displaystyle U(L)}$. В случае, когда ${\displaystyle L}$ есть ${\displaystyle n}$-мерная коммутативная алгебра Ли, ${\displaystyle U(L)}$ – алгебра многочленов от ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$.

Линейным представлением алгебры Ли ${\displaystyle L}$ над полем ${\displaystyle K}$в векторном пространстве ${\displaystyle V}$ над ${\displaystyle K}$ называется гомоморфизм ${\displaystyle L\rightarrow {\mathfrak {gl}}(V)}$ в алгебру Ли ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$. Любое аналитическое линейное представление группы Ли определяет линейное представление соответствующей алгебры Ли (в том же векторном пространстве). Любое линейное представление алгебры Ли ${\displaystyle L}$ однозначно продолжается до линейного представления ассоциативной алгебры ${\displaystyle U(L)}$, что сводит теорию представлений алгебр Ли к теории модулей над некоторым классом ассоциативных алгебр. Универсальная обёртывающая алгебра играет здесь роль, аналогичную роли групповой алгебры в теории представлений групп. Важным результатом является следующая теорема: любая конечномерная алгебра Ли над произвольным полем ${\displaystyle K}$ допускает точное линейное представление в конечномерном векторном пространстве над ${\displaystyle K}$, т. е. может быть вложена в алгебру ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.

Коммутантом алгебры Ли ${\displaystyle L}$ называется линейная оболочка ${\displaystyle [L,L]}$ её элементов вида ${\displaystyle [x,y]}$, где ${\displaystyle x,y\in L}$; коммутант является идеалом в ${\displaystyle L}$. Полагая по индукции ${\displaystyle D^{p}L=[D^{p-1}L,D^{p-1}L]}$, ${\displaystyle p=1,2,\ldots }$, ${\displaystyle D^{0}L=L}$, получают убывающую цепочку идеалов ${\displaystyle L=D^{0}L\supset D^{1}L\supset D^{2}L\supset \ldots }$ . Если ${\displaystyle D^{p}L=0}$ для некоторого ${\displaystyle p}$, то алгебра Ли ${\displaystyle L}$ называется разрешимой. Алгебра Ли ${\displaystyle L}$ называется полупростой, если ${\displaystyle L}$ не содержит ненулевых разрешимых идеалов, и простой, если ${\displaystyle L}$ не содержит ненулевых идеалов, отличных от ${\displaystyle L}$. В любой конечномерной алгебре Ли ${\displaystyle L}$ существует наибольший разрешимый идеал ${\displaystyle \mathrm {rad} \,L}$ – радикал алгебры Ли ${\displaystyle L}$, причём факторалгебра ${\displaystyle L/{\mathrm {rad} \,L}}$ полупроста. Наиболее изучено строение конечномерных полупростых алгебр Ли над полем ${\displaystyle K}$ характеристики 0. Такие алгебры разлагаются в прямую сумму простых алгебр Ли. Над полем ${\displaystyle \mathbb {C} }$ комплексных чисел (а также над любым алгебраически замкнутым полем характеристики 0) известны все конечномерные алгебры Ли. Это прежде всего следующие алгебры Ли:

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}={\mathfrak {sl}}_{n+1}(\mathbb {C} )=&\left\{X\in {\mathfrak {gl}}_{n+1}(\mathbb {C} )\mid \mathrm {tr} X=0\right\},\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\,n\geqslant 1,\\B_{n}={\mathfrak {so}}_{2n+1}(\mathbb {C} )=&\left\{X\in {\mathfrak {gl}}_{2n+1}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathsf {T}}=-X\right\},\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\,n\geqslant 2,\mathbb {C} _{n}={\mathfrak {sp}}_{2n}(\mathbb {C} )=&\left\{X\in {\mathfrak {gl}}_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathsf {T}}B+BX=0\right\},\end{aligned}}}$
${\displaystyle {\begin{aligned}\,n\geqslant 3,\\D_{n}={\mathfrak {so}}_{2n}(\mathbb {C} )=&\left\{X\in {\mathfrak {gl}}_{2n}(\mathbb {C} )\mid X^{\mathsf {T}}=-X\right\},\end{aligned}}}$
${\displaystyle \ n\geqslant 4,}$

где ${\displaystyle \mathrm {tr} (X)}$ – след матрицы ${\displaystyle X}$, верхний индекс ${\displaystyle ^{\mathsf {T}}}$ означает транспонирование матрицы, ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}0&E\\-E&0\end{pmatrix}}}$.

Кроме них, имеется единственная коммутативная простая алгебра размерности 1 и ещё пять т. н. особых простых алгебр Ли – ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$, имеющих размерности соответственно – 78, 133, 248, 52, 14. Известна также классификация конечномерных простых алгебр Ли над полем вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Классическая теория алгебр Ли, основные результаты которой принадлежат Э. Картану, является вполне законченной. Современная теория алгебр Ли имеет дело с такими алгебрами Ли, как алгебры Ли над полем простой характеристики, бесконечномерные алгебры Ли и некоторые обобщения алгебр Ли (такие, как супералгебры Ли). Эти классы алгебр исследованы менее полно. Все они имеют многочисленные применения как в математике, так и в механике, физике и других науках.

Теория алгебр Ли появилась в конце 19 в. в связи с развитием теории групп Ли. Термин ввёл Г. Вейль (1934).