Линейная комбинация

Лине́йная комбина́ция, выражение, равное сумме произведений элементов множества (векторов, функций и т. д.) на числа.

Пусть ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – поле вещественных чисел, ${\displaystyle V}$ – векторное пространство. Линейной комбинацией векторов ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}\in V}$ с коэффициентами ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$ называется вектор

${\displaystyle v=\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {v}}_{2}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {v}}_{n}}$.

Если все коэффициенты линейной комбинации равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. В этом случае ${\displaystyle v}$ есть нулевой вектор ${\displaystyle 0}$. Если хотя бы один из коэффициентов ${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}}$ не равен нулю, то линейная комбинация нетривиальная. Для некоторых систем векторов ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}$ любая нетривиальная линейная комбинация не равна нулевому вектору, для других систем векторов некоторые нетривиальные линейные комбинации равны нулевому вектору.

Зафиксируем векторы ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}$. Множество всех линейных комбинаций ${\displaystyle \{\alpha _{1}{\vec {v}}_{1}+\alpha _{2}{\vec {v}}_{2}+\ldots +\alpha _{n}{\vec {v}}_{n}:\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} \}}$ называется линейной оболочкой ${\displaystyle L}$ векторов ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}$. Линейная оболочка является подпространством в ${\displaystyle V}$. Линейная оболочка ${\displaystyle L}$ является наименьшим подпространством, содержащим векторы ${\displaystyle {\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},\ldots ,{\vec {v}}_{n}}$.