Дифференциальное уравнение

Дифференциа́льное уравне́ние, функциональное уравнение, которое содержит производную или дифференциал неизвестной функции.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ). Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных (ДУ в ЧП), если неизвестная функция есть функция двух или многих переменных. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) включает случайный процесс.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Соответствующие производные называются старшими.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если обе части уравнения линейно зависят от неизвестной функции и её производных. В квазилинейное дифференциальное уравнение только старшие производные входят линейно, в нелинейном дифференциальном уравнении отсутствует линейная зависимость старших производных.

Решение (частное решение) дифференциального уравнения порядка ${\displaystyle n}$ – это функция, имеющая непрерывные производные до порядка ${\displaystyle n}$ включительно, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Вместе с дифференциальным уравнением задаётся область, в которой надо найти решение. Если такая область не задана (как правило, для ОДУ), то подразумевается, что это область определения решения – естественная область определения.

Решение дифференциального уравнения не является единственным. Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения. Для определения единственного решения дифференциального уравнения задаются дополнительные условия.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Теоремы существования и единственности указывают необходимые и достаточные для этого условия.

Если в рассматриваемой области решение негладкое, то можно использовать обобщённые решения в виде обобщённых функций.

Совокупность дифференциальных уравнений, содержащих производные нескольких неизвестных функций, образуют систему дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения впервые появились в работах И. Ньютона и Г. В. Лейбница во 2-й половине 17 в. В задачах механики они описывали соотношения между зависящими от времени координатой (перемещением), скоростью и ускорением. Например, второй закон Ньютона в одномерном случае записывается в виде ОДУ 2-го порядка

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=F(x,{\frac {dx}{dt}},t),}$

где ${\displaystyle m}$ – масса тела, ${\displaystyle F}$ – действующая на него сила.

Теория дифференциальных уравнений развивалась в работах Я. Бернулли, Л. Эйлера, Ж.-Л. Лагранжа, А. Пуанкаре, С. Ковалевской, А. Ляпунова и многих других зарубежных и отечественных математиков. В настоящее время дифференциальные уравнения используются в математических моделях, описывающих различные процессы в природе, технике и человеческом обществе – в физике, химии, биологии, медицине, экономике, финансах, социологии и т. п.

Примеры:

1. Линейное ОДУ 1-го порядка относительно неизвестной функции ${\displaystyle y(x)}$

${\displaystyle y^{\prime }+y=0}$

имеет общее решение ${\displaystyle y=Ce^{-x}}$, где ${\displaystyle C}$ – произвольная постоянная. Дополнительное условие

${\displaystyle y(0)=1}$

определяет единственное (частное) решение ${\displaystyle y=e^{-x}}$.

2. Нелинейное ОДУ 1-го порядка

${\displaystyle y^{\prime }=2xy^{2}}$

имеет общее решение ${\displaystyle y=-{\frac {1}{x^{2}+C}}}$.

Единственное решение, удовлетворяющее условию ${\displaystyle y(-1)=2}$, есть ${\displaystyle y={\frac {1}{1.5-x^{2}}}}$.

3. Линейное ОДУ 2-го порядка

${\displaystyle y{''}+k^{2}y=0,\ \ \ \ k=const}$

имеет общее решение ${\displaystyle y=C_{1}cos{x}+C_{2}sin{x}}$. Частное решение ${\displaystyle y=cos{x}}$ удовлетворяет дополнительным условиям ${\displaystyle y(0)=1,y^{\prime }(0)=0}$.

4. Линейное ДУ в ЧП 1-го порядка – уравнение переноса массы ${\displaystyle \rho (x,y,z,t)}$ :

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+div(\rho v)=0}$.

5. Нелинейное ДУ в ЧП 3-го порядка – уравнение Кортевега – де Фриза:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}}$.

6. СДУ 1-го порядка – уравнение Ланжевена:

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=f(x)+\eta (t),}$

где ${\displaystyle f(x)}$ – заданная функция, ${\displaystyle \eta (t)}$ – случайная шумовая функция.