Трансфини́тный диа́метр компактного множества, характеристика $d=d(E)$ компактного множества $E$ на комплексной плоскости, служащая геометрической интерпретацией ёмкости этого множества. Пусть $E$ – компактное бесконечное множество плоскости $z$. Величина

$$\begin{gathered} d_n(E)=\left\{\max _{z_k, z_l \in E} \prod_{1 \leqslant k<l \leqslant n}\left[z_k, z_l\right]\right\}^{2 /[n(n-1)]}, \\ n=2,3, \ldots, \end{gathered} \tag{1}$$где $[a, b]=|a-b|$ – евклидово расстояние между точками $a, b$, называется $n$-м диаметром множества $E$. В частности, $d_2(E)$ – евклидов диаметр множества $E.$ Точки $z_{n, 1}, \ldots, z_{n, n}$ множества $E$, для которых в правой части равенства (1) реализуется максимум, называются точками Фекете (или узлами Вандермонда) для $E$. Последовательность величин $d_n(E)$ невозрастающая: $d_{n+1}(E) \leqslant d_n(E)$, $n=2,3, \ldots$, так что существует предел

$$\lim _{n \rightarrow \infty} d_n(E)=d(E).$$Величина $d(E)$ и называется трансфинитным диаметром множества $E$. Если $E$ – конечное множество, то полагают $d(E)=0$. Трансфинитный диаметр $d(E)$, постоянная Чебышёва $\tau(E)$ и ёмкость множества $C(E)$ связаны равенствами

$$d(E)=\tau(E)=C(E).$$Трансфинитный диаметр множества $E$ обладает следующими свойствами: 1) если $E_1 \subset E$, то $d(E_1) \leqslant d(E)$; 2) если $a$ – фиксированное комплексное число и $E_1=\{w: w=a z, z \in E\}$, то $d\left(E_1\right)=|a| d(E)$; 3) если $E_{\varepsilon}$ – множество точек, находящихся на расстоянии от $E$, меньшем или равном $\varepsilon$, то $\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} d\left(E_{\varepsilon}\right) =d(E)$; 4) если $E^*$ – множество всех корней уравнения

$$Q(z)=z^k+a_1 z^{k-1}+\ldots+a_k=w,$$где $Q(z)$ – данный многочлен, $w$ пробегает множество $E$, то $d\left(E^*\right)=\{d(E)\}^{1 / k}$. Трансфинитный диаметр круга равен его радиусу; трансфинитный диаметр прямолинейного отрезка равен четверти его длины.

Пусть $E$ – ограниченный континуум, $D$ – та из компонент дополнения $E$ до расширенной плоскости, которая содержит точку $\infty$. Тогда трансфинитный диаметр $E$ равен конформному радиусу области $D$ (относительно точки $\infty$).

Соответствующие понятия для множеств на гиперболической и эллиптической плоскостях определяются следующим образом. Пусть в качестве модели гиперболической плоскости рассматривается круг $|z|<1$ с метрикой, определяемой линейным элементом $d s_h=|d z| /\left(1-|z|^2\right)$, и пусть $E$ – замкнутое бесконечное множество в круге $|z|<1$. Тогда $n$-й гиперболический диаметр $d_{n, h}(E)$ множества $E$ определяется равенством (1), в котором

$$[a, b]=\left|\frac{a-b}{1-\bar{a} b}\right| \tag{2}$$– гиперболическое псевдорасстояние между точками $a$ и $b$, т. е. $[a, b]= \operatorname{th}\rho_h(a, b)$, где $\rho_h(a, b)$ – гиперболическое расстояние между точками $a, b$ круга $|z|<1$ (см. в статье Гиперболическая метрика). Как и в евклидовом случае, последовательность $d_{n, h}(E)$ невозрастающая, и существует предел

$$\lim _{n \rightarrow \infty} d_{n, h}(E)=d_h(E),$$называемый гиперболическим трансфинитным диаметром множества $E$. Определяя гиперболическую постоянную Чебышёва $\tau_h(E)$ и гиперболическую ёмкость $C_h(E)$ множества $E$ посредством гиперболического псевдорасстояния (2) между точками круга $|z|<1$ аналогично тому, как постоянная Чебышёва $\tau(E)$ и ёмкость $C(E)$ определяются при помощи евклидова расстояния между точками плоскости $z$, получают равенства

$$d_h(E)=\tau_h(E)=C_h(E).$$Гиперболический трансфинитный диаметр инвариантен относительно полной группы гиперболических изометрий. Если $E$ – континуум, то имеется простая связь гиперболического трансфинитного диаметра $d_h(E)$ с конформным отображением. Именно, пусть $E$ – континуум в круге $|z|<1$ и дополнение $E$ до круга $|z|<1$ конформно эквивалентно круговому кольцу $r<|w|<1$, $0<r<1$. Тогда $r=d_h(E)$.

Пусть в качестве модели эллиптической плоскости взята расширенная плоскость $z$ с метрикой её римановой сферы $K$ диаметра $1$, касающейся плоскости $z$ в точке $z=0$, т. е. метрикой, определяемой линейным элементом

$$d s_e=|d z| /\left(1+|z|^2\right),$$при этом пусть отождествлены точки $z$ и $z^*=-1 / z$, которым при стереографической проекции расширенной плоскости $z$ на сферу $K$ соответствуют диаметрально противоположные точки на $K$. Пусть $E$ – замкнутое бесконечное множество на расширенной плоскости $z$, $E \cap E^*=\varnothing$, где $E^*=\{-1 / z: z \in E\}$. Тогда $n$-й эллиптический диаметр $d_{n, e}(E)$ множества $E$ определяется равенством (1), в котором

$$[a, b]=\left|\frac{a-b}{1+\bar{a} b}\right| \tag{3}$$– эллиптическое псевдорасстояние между точками $a, b$ множества $E$, т. е. $[a, b]=\operatorname{tg} \rho_e(a, b)$, где $\rho_e(a, b) (<\pi / 2)$ – эллиптическое расстояние между $a$ и $b.$ Как и в предыдущих случаях, последовательность $d_{n, e}(E)$ невозрастающая, и существует предел

$$\lim _{n \rightarrow \infty} d_{n, e}(E)=d_e(E),$$называемый эллиптическим трансфинитным диаметром множества $E$. Определяя эллиптическую постоянную Чебышёва $\tau_e(E)$ и эллиптическую ёмкость $C_e(E)$ множества $E$ посредством эллиптического псевдорасстояния (3), получают равенства:

$$d_e(E)=\tau_e(E)=C_e(E).$$Эллиптический трансфинитный диаметр $d_e(E)$ инвариантен относительно группы дробно-линейных преобразований

$$z \rightarrow \frac{p z+q}{-\bar{q} z+\bar{p}},\quad |p|^2+|q|^2=1,$$расширенной плоскости $z$ на себя, дополненной группой отражений относительно эллиптических прямых. Первая из этих групп изоморфна группе вращений сферы $K$ относительно её центра, вторая – группе отражений сферы $K$ относительно плоскостей, проходящих через её центр. При данном определении эллиптический трансфинитный диаметр множества $E$ следующим образом связан с конформным отображением. Если $E$ – континуум на расширенной плоскости $z$, $E \cap E^*=\varnothing$, и дополнение $E \cup E^*$ до расширенной плоскости конформно эквивалентно круговому кольцу $r<|w|<1 / r$, $0<r<1$, то $r=d_e(E)$.

Понятие трансфинитного диаметра допускает обобщение для компактов $E$ в многомерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$, $m \geqslant 2$, связанное с теорией потенциала. Пусть для точек $x \in \mathbb{R}^m$

$$H(|x|)= \left\{ \begin{aligned} \ln \frac{1}{|x|}\,\, & \text { при } m=2, \\ \frac{1}{|x|^{m-2}}\,\, & \text { при } m \geqslant 3\end{aligned} \right.$$– фундаментальное решение уравнения Лапласа, и для набора точек $\left(x_j\right)_{j=1}^n \subset E$ пусть

$$\chi_n(E)=\inf \left\{\frac{2}{n(n-1)} \sum_{j, k=1, j<k}^n H\left(\left|x_j-x_k\right|\right): \left(x_j\right)_{i=1}^n \subset E_j \right\}.$$Тогда при $m=2$ справедливо равенство

$$d(E)=C(E)=\exp \left(-\lim _{n \rightarrow \infty} \chi_n(E)\right),$$а при $m \geqslant 3$ целесообразно принять (Карлесон. 1971)

$$d(E)=C(E)=\frac{1}{\lim _{n \rightarrow \infty} \chi_n(E)}.$$