Постоя́нная Чебышёва, числовая характеристика $\tau=\tau(E)$ компактного множества $E$ на комплексной плоскости, употребляемая в теории наилучшего приближения.

Пусть $K_n$ – класс всех многочленов вида

$$p_n(z)=z^n+c_1 z^{n-1}+\ldots+c_n$$степени $n$ и пусть

$$\begin{gathered} M\left(p_n\right)=\max \left\{\left|p_n(z)\right|: z \in E\right\}, \\ m_n=\inf \left\{M\left(p_n\right): p_n \in K_n\right\}, \quad \tau_n=\sqrt[n]{m_n}. \end{gathered}$$Существует многочлен $t_n(z) \in K_n$, для которого $M\left(t_n\right)= m_n$, он называется многочленом Чебышёва для $E$. Кроме того, существует предел

$$\lim _{n \rightarrow \infty} \tau_n=\tau,$$который и называется постоянной Чебышёва для $E$.

Если ограничиться классом $\tilde{K}_n$ всех многочленов

$$\tilde{p}_n(z)=z^n+\ldots+\tilde{c}_n,$$нули которых расположены на $E$, то получают соответствующие величины $\tilde{m}_n$, $\tilde{\tau}_n$, $\tilde{\tau}$ и многочлен $\tilde{t}_n(z)$ (он также называется многочленом Чебышёва) такой, что $M\left(\tilde{t}_n\right)=\tilde{m}_{r l}$.

Известно, что $\tau=\tilde{\tau}=C(E)=d$, где $C(E)$ – ёмкость компакта $E$, $d$ – его трансфинитный диаметр (см., например, Голузин. 1966).

Понятие постоянной Чебышёва обобщается для компактов $E$ в многомерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^m$, $m \geqslant 2$, исходя из теории потенциала. Пусть для точек $x \in \mathbb{R}^m$

$$H(|x|)=\left\{\begin{aligned} &\ln \frac{1}{|x|}\, \text { при }\, m=2, \\ &\frac{1}{|x|^{m-2}}\, \text { при }\, m \geqslant 3 \end{aligned}\right.$$– фундаментальное решение уравнения Лапласа и для набора $\left(x_j\right)_{j=1}^n \subset E$ пусть

$$\sigma_n(E)=\sup \left\{\min \left\{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n H\left(\left|x-x_j\right|\right): x \in E\right\}: \left(x_j\right)_{j=1}^n \subset E\right\} .$$Тогда при $m=2$ получают равенство

$$\tau=\tilde{\tau}=C(E)=\exp \left(-\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_n(E)\right),$$а при $m \geqslant 3$ принимают (Карлесон. 1971)

$$\tau=C(E)=\frac{1}{\lim _{n \rightarrow \infty} \sigma_n(E)}.$$