Теоре́ма Ти́хонова, теорема о компактности произведения компактных пространств. Более точно, теорема Тихонова гласит: если $\{X_s\}_{s\in S}$ – семейство компактных топологических пространств, то топологическое произведение $\prod\limits_{s\in S}\ X_s$ является компактным пространством. Теорема Тихонова является одним из фундаментальных утверждений общей топологии. Часто теорему Тихонова формулируют в равносильной форме критерия компактности произведения непустых компактных пространств: топологическое произведение $\prod\limits_{s\in S}X_s$, где $X_s\neq\varnothing$ при всех $s\in S$, является компактным пространством в том и только в том случае, если компактны все пространства $X_s$.

Теорема Тихонова в аксиоматической теории множеств

В системе аксиом теории множеств $\mathsf{ZF}$ (Цермело – Френкеля) теорема Тихонова эквивалентна аксиоме выбора; более того, аксиома выбора следует даже из теоремы Тихонова для $T_1$-пространств, т. е. из утверждения «топологическое произведение компактных $T_1$-пространств является компактным пространством». Вместе с тем теорема Тихонова для хаусдорфовых пространств (т. е. утверждение «топологическое произведение хаусдорфовых компактных пространств является компактным пространством») эквивалентна теореме об ультрафильтре – утверждению, более слабому, чем аксиома выбора.

Исторические и библиографические сведения

Теорема Тихонова названа в честь А. Н. Тихонова, который определил произведение топологических пространств и доказал компактность тихоновского куба, т. е. теорему Тихонова в частном случае топологического произведения отрезков вещественной прямой (результаты объявлены в: Tychonoff. 1926; рус. пер.: Тихонов. 2009. Об абстрактных пространствах, доказательства опубликованы в: Tychonoff. 1930; рус. пер.: Тихонов. 2009. О топологическом расширении пространств). Оригинальное доказательство Тихонова практически дословно переносится на случай произведения произвольных компактных пространств, но этот факт – т. е. теорема Тихонова в полной общности – был явно отмечен Тихоновым лишь в 1935 г. (Tychonoff. 1935; рус. пер.: Тихонов. 2009. Теорема о неподвижной точке). Доказательство Тихонова было достаточно сложным и опиралось на следующий критерий компактности П. С. Александрова – П. С. Урысона: топологическое пространство компактно в том и только в том случае, если любое его бесконечное подмножество имеет точку полного накопления. Дж. Александер и Л. Зиппин в 1935 г. опубликовали доказательство теоремы Тихонова, опирающееся на этот же критерий (Alexander. 1935); другой вариант доказательства, также опирающегося на критерий Александрова – Урысона, дал Э. Чех (Čech. 1937).

В 1939 г. Дж. Александер дал простое доказательство теоремы Тихонова, основанное на лемме, названной позже его именем (Alexander. 1939). Дж. Тьюки (Tukey. 1940) представил доказательство теоремы Тихонова, используя введённые им понятия фаланги и ультрафаланги (которые по существу представляют собой специальные классы направленностей).

Доказательство теоремы Тихонова, основанное на свойствах сходимости ультрафильтров, появилось в трактате «Элементы математики» Н. Бурбаки (Bourbaki. 1940; рус. пер. с 3-го французского издания: Бурбаки. 1968); практически одновременно с ним было опубликовано доказательство К. Шевалле и О. Фринка (Chevalley. 1941), которое, хотя и не использовало в явном виде свойства сходимости ультрафильтров, являлось весьма близким к доказательству из трактата Бурбаки (доказательство Шевалле – Фринка воспроизведено, например, в книгах: Энгелькинг. 1986 и Александров. 2010). Вопреки иногда встречающемуся в научной литературе утверждению, фундаментальные статьи А. Картана, в которых он ввёл понятие фильтра (Cartan. Théorie des filtres. 1937; Cartan. Filtres et ultrafiltres. 1937), не содержат доказательства теоремы Тихонова.

Доказательства Александера и Бурбаки (Шевалле – Фринка) в настоящее время являются стандартными доказательствами теоремы Тихонова, принятыми в учебной литературе.

Эквивалентность теоремы Тихонова и аксиомы выбора доказал Дж. Келли (Kelley. 1950).