Бина́рное отноше́ние, двуместный предикат на заданном множестве. Под бинарным отношением иногда понимают подмножество множества $A \times A$ упорядоченных пар $(a, b)$ элементов заданного множества $A$. Бинарное отношение – частный случай отношения. Пусть $R \subseteq A \times A$. Если $(a, b) \in R$, то говорят, что элемент $a$ находится в бинарном отношении $R$ к элементу $b$. Вместо $(a, b) \in R$ пишут также $a R b$.

Пустое подмножество $\varnothing$ в $A \times A$ и само множество $A \times A$ называется, соответственно, нуль-отношением и универсальным отношением в множестве $A$. Диагональ множества $A \times A$, т. е. множество $\Delta=\{(a, a) / a \in A\}$, есть отношение равенства, или единичное бинарное отношение в $A$.

Пусть $R$, $R_1$, $R_2$ – бинарные отношения в множестве $A$. Наряду с теоретико-множественными операциями объединения $R_1 \cup R_2$, пересечения $R_1 \cap R_2$ и дополнения $R^{\prime}=(A \times A) \backslash R$ для бинарного отношения рассматривают также операцию обращения

$$R^{–1}=\{(a, b) \mid(b, a) \in R\}$$и операцию умножения

$$R_1 \circ R_2=\left\{(a, b) \mid(\exists c \in A)\left(a R_1 c \text { и } c R_2 b\right)\right\} .$$Бинарное отношение $R^{–1}$ называется обратным для $R$. Умножение бинарных отношений ассоциативно, но, вообще говоря, не коммутативно.

Бинарное отношение $R$ в $A$ называется: а) рефлексивным, если $\Delta \subseteq R$; б) транзитивным, если $R \circ R \subseteq R$; в) симметричным, если $R^{–1} \subseteq R$; г) антисимметричным, если $R \cap R^{–1} \subseteq \Delta$. Если бинарное отношение $R$ обладает некоторым из свойств а), б), в), г), то обратное отношение $R^{–1}$ обладает этим же свойством. Бинарное отношение $R \subseteq A \times A$ называется функциональным, если $R^{–1}{\circ} R \subseteq \Delta$.

Наиболее важными типами бинарного отношения являются эквивалентности, порядки (линейные и частичные) и функциональные отношения.