Сумми́рование рядо́в Фурье́, построение средних рядов Фурье с помощью методов суммирования. Наиболее развита теория суммирования рядов Фурье по тригонометрической системе. В этом случае для функций $f\in L(0,2\pi)$ с рядами Фурье$$\frac{a_0}{2}+ \sum\limits_{k=1}^\infty(a_k\cos kx + b_k \sin kx)\equiv \sum\limits_{k=0}^\infty A_k(x)$$изучаются свойства средних, соответствующих рассматриваемому методу суммирования. Например, для метода суммирования Абеля – Пуассона средними являются гармонические в единичном круге функции$$f(r,x) = \sum\limits_{k=0}^\infty r^kA_k(x),$$а для метода суммирования средних арифметических – суммы Фейера$$\sigma_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n\left(1-\frac{k}{n+1}\right) A_k(x).$$Кроме названных, наиболее важными в теории одномерных тригонометрических рядов являются методы суммирования Чезаро, метод суммирования Рисса, метод суммирования Римана, метод суммирования Бернштейна – Рогозинского, метод суммирования Валле Пуссена. Рассматриваются также методы суммирования, порождаемые более или менее произвольной последовательностью $\lambda$-множителей$$\sum\limits_{k=0}^\infty \lambda_{n, k}A_k(x).$$Суммирование рядов Фурье применяется в следующих задачах.

Представление функций с помощью рядов Фурье. Например, средние Абеля – Пуассона $f(r,x)$ при $r\to1$–$0$ и суммы Фейера $\sigma_n(x)$ при $n\to\infty$ сходятся к функции $f(x)$ в точках её непрерывности, причём сходятся равномерно, если $f$ непрерывна во всех точках; для каждой функции $f\in L$ эти средние сходятся к ней в метрике $L$. Частные суммы рядов Фурье указанными свойствами не обладают.

Построение полиномов с хорошими аппроксимативными свойствами. Фактически с помощью суммирования рядов Фурье было установлено неравенство Джексона. Для решения этой задачи, наряду с использованием известных методов суммирования, были предложены новые методы – сингулярный интеграл Джексона, суммы Валле Пуссена.

В терминах средних рядов Фурье можно характеризовать многие свойства функций. Например, функция $f$ является существенно ограниченной в том и только том случае, когда существует такая постоянная $M$, что $|\sigma_n(x)|\leqslant M$ для всех $n$ и $x$.

Существенную роль играет суммирование рядов Фурье в теории кратных тригонометрических рядов. Так, вместо сферических частных сумм чаще используют их средние Рисса достаточно высокого порядка.

Рассматривается также суммирование рядов Фурье по другим ортонормированным системам функций – как по конкретным системам или классам систем, например по ортогональным многочленам, так и по произвольным ортонормированным системам.