Те́нзорная а́лгебра, 1) раздел тензорного исчисления, в котором изучаются алгебраические операции над тензорами.

2) Тензорная алгебра унитарного модуля $V$ над коммутативно-ассоциативным кольцом $A$ с единицей – алгебра $T(V)$ над $A$, модуль которой имеет вид$$T(V)=\oplus_{p=0}^{\infty} T p, \quad0(V)=\oplus_{p=0}^{\infty} \stackrel{p}{\otimes} V,$$а умножение определяется при помощи умножения тензоров. Наряду с контравариантной тензорной алгеброй, рассматривают также ковариантную тензорную алгебру$$T\left(V^*\right)=\oplus_{p=0}^{\infty} T^{0, p}(V)$$и смешанную тензорную алгебру$$\hat{T}(V)=\oplus_{p, q=0}^{\infty} T^{p, q}(V).$$Если модуль $V$ свободен и конечно порождён, то $T\left(V^*\right)$ естественно изоморфна алгебре всех полилинейных форм на $V$. Любой гомоморфизм $A$-модулей $V \rightarrow W$ естественным образом определяет гомоморфизм тензорной алгебры $T(V) \rightarrow T(W)$.

Тензорная алгебра $T(V)$ ассоциативна, но, вообще говоря, не коммутативна. Её единицей является единица кольца $A=T^0(V)$. Любое $A$-линейное отображение модуля $V$ в ассоциативную $A$-алгебру $B$ с единицей единственным образом продолжается до гомоморфизма алгебр $T(V) \rightarrow B$, переводящего единицу в единицу. Если $V$ – свободный модуль с базисом $\left(v_i\right)_{i \in I}$, то $T(V)$ есть свободная ассоциативная алгебра с системой образующих $\left(v_i\right)_{i \in I}$.